Kundalik tezliklarda Nyuton mexanikasi a’lo ishlaydi. Ammo yorug‘lik tezligiga yaqin tezliklarda vaqt, uzunlik, massa va tezliklarni qo‘shish qoidasi o‘zgaradi. Eynshteynning maxsus nisbiylik nazariyasi (1905) ana shu holatlarni tavsiflaydi. Uning xulosalari zarralar tezlatkichlarida, kosmik nurlarda va GPS sun’iy yo‘ldoshlarida har kuni tasdiqlanadi.
§1. Nisbiylik postulatlari
Galiley nisbiylik tamoyili: mexanik hodisalar barcha inersial sanoq sistemalarida bir xil kechadi, tezliklar oddiy qo‘shiladi (v = v₁ + v₂). Ammo Maykelson tajribasi yorug‘lik tezligi Yerning harakatiga bog‘liq emasligini ko‘rsatdi. Eynshteyn ikki postulatni ilgari surdi:
Barcha inersial sanoq sistemalarida barcha fizika qonunlari (mexanika va elektrodinamika) bir xil.
Vakuumda yorug‘lik tezligi c = 3·10⁸ m/s barcha inersial sistemalarda bir xil va manba hamda kuzatuvchi tezligiga bog‘liq emas.
Ikkinchi postulatdan muhim natija: hech bir jism yoki signal c dan tez harakatlana olmaydi. Bir sistemada bir vaqtda sodir bo‘lgan voqealar boshqa sistemada bir vaqtda bo‘lmasligi mumkin — bir vaqtlilik nisbiy.
Buni fikriy tajriba bilan tushunish oson. Tez ketayotgan vagon o‘rtasida chiroq yondi. Vagondagi yo‘lovchi uchun yorug‘lik old va orqa devorlarga bir vaqtda yetadi — masofalar teng, tezlik bir xil. Perrondagi kuzatuvchi uchun esa orqa devor yorug‘likka qarab harakatlanadi, old devor undan qochadi; yorug‘lik tezligi manba harakatiga bog‘liq bo‘lmagani uchun nur avval orqa devorga yetadi. Bir xil ikki voqea bir sistemada bir vaqtda, boshqasida esa ketma-ket sodir bo‘ladi. Vaqt oralig‘i va uzunlik ham shuning uchun sanoq sistemasiga bog‘liq bo‘lib chiqadi. Maykelson va Morli (1887) tajribasida yorug‘lik tezligidagi kutilgan farq topilmagani esa "efir" g‘oyasidan voz kechishga olib kelgan.
Quyidagi formulalarda relyativistik ko‘paytuvchi ko‘p uchraydi:
√(1 − v²/c²); v = 0,6c da 0,8, v = 0,8c da 0,6
§2. Vaqtning sekinlashishi
Harakatlanayotgan soat tinch turgan kuzatuvchiga nisbatan sekinroq yuradi:
t = t₀/√(1 − v²/c²)
t₀ — xususiy vaqt (soat bilan birga harakatlanuvchi sistemada o‘lchangan), t — kuzatuvchi o‘lchagan vaqt, doim t > t₀.
Misol
Kosmik kemada 4 s davom etgan jarayon. Kema Yerga nisbatan 0,6c tezlikda uchsa, Yerdagi kuzatuvchi uchun u qancha davom etadi?
√(1 − 0,36) = 0,8.
t = 4/0,8 = 5 s.
Misol
Myuonning xususiy yashash vaqti 2,2 μs. U atmosferada 0,99c tezlikda uchadi. Yer sistemasida qancha yashaydi va qancha yo‘l bosadi?
√(1 − 0,99²) = √0,0199 ≈ 0,141.
t = 2,2/0,141 ≈ 15,6 μs.
s = 0,99·3·10⁸·1,56·10⁻⁵ ≈ 4,6·10³ m — klassik hisobdagi 650 m o‘rniga. Shuning uchun myuonlar Yer sirtigacha yetib keladi.
§3. Uzunlikning qisqarishi
Harakatlanayotgan jismning harakat yo‘nalishidagi o‘lchami qisqaradi:
l = l₀·√(1 − v²/c²)
l₀ — xususiy uzunlik (jism bilan bog‘liq sistemada). Harakatga perpendikulyar o‘lchamlar o‘zgarmaydi.
Misol
1 m sterjen o‘z uzunligi bo‘ylab 0,8c tezlikda harakatlanmoqda. Uning uzunligi?
√(1 − 0,64) = 0,6.
l = 1·0,6 = 0,6 m.
§4. Tezliklarni relyativistik qo‘shish
v = (v₁ + v₂)/(1 + v₁v₂/c²)
Kichik tezliklarda maxraj ≈ 1 va formula klassik v₁ + v₂ ga aylanadi.
v₁ = c bo‘lsa, v = c — yorug‘lik tezligi har qanday sistemada bir xil.
Misol
Ikki zarra bir-biriga qarama-qarshi har biri 0,6c tezlikda uchmoqda. Biriga nisbatan ikkinchisining tezligi?
v = (0,6c + 0,6c)/(1 + 0,36) = 1,2c/1,36.
v ≈ 0,88c (1,2c emas!).
§5. Massa va energiya bog‘lanishi
E = mc², tinchlikdagi energiya E₀ = m₀c²
Relyativistik massa: m = m₀/√(1 − v²/c²), impuls p = mv
Kinetik energiya: E_k = (m − m₀)c² = E − E₀
Har qanday jism tinch holatda ham ulkan energiyaga ega: 1 g modda 10⁻³·9·10¹⁶ = 9·10¹³ J ga teng.
Massa defekti, yadro energetikasi va annigilyatsiya shu formulaga asoslanadi. Masalan, 1 kg uran-235 to‘liq bo‘linganda taxminan 8·10¹³ J energiya ajraladi — bu massaning atigi 0,1 % ga yaqin qismi (Δm = E/c² ≈ 0,9 g).
v ≪ c da E_k ≈ m₀v²/2, lekin c ga yaqin tezlikda bu formula yaroqsiz.
Misol
Zarra massasi tinchlikdagidan 5/3 marta katta. Tezligi va kinetik energiyasi?
Elektron (m₀ = 9,1·10⁻³¹ kg, E₀ ≈ 0,511 MeV) 0,6c tezlikda harakatlanmoqda. Impulsi va kinetik energiyasi?
m = m₀/0,8 = 1,25m₀.
p = 1,25·9,1·10⁻³¹·1,8·10⁸ ≈ 2,05·10⁻²² kg·m/s.
E_k = (1,25 − 1)·0,511 ≈ 0,128 MeV.
§6. Energiya va impuls bog‘lanishi, nazariyaning tasdiqlari
To‘liq energiya, impuls va tinchlikdagi energiya orasidagi bog‘lanish istalgan tezlik uchun to‘g‘ri:
E² = (pc)² + (m₀c²)²
Tinchlikdagi massasi nol bo‘lgan zarra — foton uchun E = pc: u faqat c tezlikda harakatlanadi va tinch holatda bo‘lmaydi.
Nisbiylik nazariyasi faqat nazariya emas — u kundalik texnikada hisobga olinadi:
GPS yo‘ldoshlari soatlari: tezlik tufayli ular sutkasiga taxminan 7 μs sekin yuradi, tortishish maydoni kuchsizroq bo‘lgani uchun esa (umumiy nisbiylik nazariyasi) taxminan 45 μs tez yuradi; bu tuzatishlar hisobga olinmasa, joylashuv xatoligi sutkasiga kilometrlab to‘planardi.
Zarralar tezlatkichlarida protonlar c ga juda yaqin tezlikda harakatlanadi, lekin hech qachon undan oshmaydi; energiya berilgan sari asosan ularning impulsi va energiyasi ortadi.
Quyosh termoyadro reaksiyalarida har sekundda taxminan 4·10⁹ kg massani nurlanish energiyasiga aylantiradi (Δm = P/c²).
Misol
0,6c tezlikdagi elektron uchun (E₀ = 0,511 MeV) to‘liq energiya va pc ni toping, E² = (pc)² + E₀² ni tekshiring.
E = E₀/0,8 = 1,25·0,511 ≈ 0,639 MeV.
pc = mvc = 1,25·0,6·0,511 ≈ 0,383 MeV.
Tekshiruv: √(0,639² − 0,511²) ≈ 0,383 MeV — mos keladi.
O‘zingizni tekshiring
Kosmik kemadagi soat 3 s ko‘rsatdi. Kema 0,8c tezlikda bo‘lsa, Yerdagi soat qancha o‘tadi?
Xususiy uzunligi 10 m kema 0,6c tezlikda uchmoqda. Yerdagi kuzatuvchi uchun uzunligi?
0,5c va 0,5c tezliklarni relyativistik qo‘shing.
1 kg massaning tinchlikdagi energiyasi?
Qanday tezlikda kinetik energiya tinchlikdagi energiyaga teng bo‘ladi?
0,9c tezlikdagi raketadan oldinga yorug‘lik chiqarildi. Yerga nisbatan uning tezligi?
Quyosh nurlanish quvvati 3,8·10²⁶ W. U sekundiga qancha massa yo‘qotadi?
Tinchlikdagi massasi nol bo‘lgan zarra qanday tezlikda harakatlanadi?
Ko‘p uchraydigan xatolar
Relyativistik tezliklarni oddiy qo‘shish (natija c dan oshib ketadi).
E_k = mv²/2 ni yorug‘likka yaqin tezlikda qo‘llash.
t va t₀ ni almashtirib qo‘yish: xususiy vaqt doim kichik.
Uzunlik barcha yo‘nalishlarda qisqaradi deb o‘ylash: faqat harakat yo‘nalishida.
v/c ni kvadratga ko‘tarishni unutish: √(1 − v/c) emas, √(1 − v²/c²).
Massa defekti yoki E = mc² hisobida energiyani eV da, massani kg da aralashtirib qo‘yish: avval birliklarni bir xil tizimga keltiring.