Jismlar hajmi va sirti

Hajm — jism egallagan fazo miqdori; u kub birliklarda o‘lchanadi: sm³, dm³ (litr), m³. Hajm masalalari amaliy hayotda doim uchraydi: idishga necha litr suv sig‘adi, qurilishga qancha beton kerak, metallni eritib nechta detal quyish mumkin. Formulalar ikki katta oilaga bo‘linadi: «silindrsimon» jismlar (prizma, silindr) — V = S·h, «uchli» jismlar (piramida, konus) — V = ⅓ S·h. Shu bog‘liqlikni tushunsangiz, formulalarning yarmini avtomatik eslab qolasiz. Bu dars «Ko‘pyoqlar» va «Aylanish jismlari» mavzularining davomi.

§1. Hajmning asosiy xossalari

Hajm tushunchasi quyidagi xossalarga ega:

• teng jismlarning hajmlari teng;
• jism bir necha qismga bo‘linsa, uning hajmi qismlar hajmlari yig‘indisiga teng;
• qirrasi 1 bo‘lgan kub hajmi 1 ga teng (o‘lchov birligi).

Ikkinchi xossa murakkab jismlar bilan ishlashda asosiy vosita: jismni sodda bo‘laklarga ajratamiz yoki aksincha, katta jismdan ortiqcha qismni ayiramiz.
Birliklarni almashtirishda chiziqli birlik kubga ko‘tariladi:

Misol

Qirrasi 4 bo‘lgan kubda qarama-qarshi yoqlar markazlari orqali radiusi 1 bo‘lgan silindrsimon teshik ochildi. Qolgan qism hajmini toping.

1. Kub hajmi: 4³ = 64.
2. Teshik — radiusi 1, balandligi 4 bo‘lgan silindr: π · 1² · 4 = 4π.
3. Hajmning ayirish xossasiga ko‘ra: V = 64 − 4π.

§2. Prizma va silindr

Nega «asos × balandlik»? Prizmani balandligi bo‘yicha juda yupqa qatlamlarga bo‘lsak, har bir qatlam asosga teng; qatlamlar soni balandlikka proporsional. Asos har qanday shakl bo‘lishi mumkin — uchburchak, oltiburchak yoki doira — formula bir xil. Og‘ma prizmada h — yon qirra emas, asoslar orasidagi perpendikulyar masofa.
Bu fikr Kavalyeri prinsipi deb ataladi: agar ikki jismni asosga parallel istalgan tekislik bilan kesganda kesim yuzlari teng bo‘lsa, jismlarning hajmlari ham teng. Shuning uchun og‘ma prizma hajmi asosi va balandligi bir xil bo‘lgan to‘g‘ri prizma hajmiga teng — xuddi qiyshaytirilgan tangalar ustuni hajmi o‘zgarmagani kabi.

Misol

Muntazam uchburchakli prizmaning asos tomoni 6, balandligi 10. Hajmini toping.

1. Asos — teng tomonli uchburchak: S = a²√3/4 = 36√3/4 = 9√3.
2. V = S·h = 9√3 · 10 = 90√3.

Misol

Silindrsimon bochkaning asos radiusi 3 dm, balandligi 10 dm. Unga necha litr suv sig‘adi (π ≈ 3,14)?

1. V = πR²h = 3,14 · 9 · 10 = 282,6 dm³.
2. 1 dm³ = 1 l, demak taxminan 282,6 litr.

§3. Piramida va konus

Bir xil asos va balandlikli prizma (silindr) hajmi piramida (konus) hajmidan 3 marta katta. Buni tajribada ham ko‘rish mumkin: konussimon idishdagi suv bir xil asos va balandlikli silindrni roppa-rosa uch marta quyganda to‘ldiradi. Geometrik jihatdan kubni markazidan uchlariga tortilgan kesmalar oltita teng piramidaga ajratadi — shundan ⅓ koeffitsiyent kelib chiqadi.
Muntazam tetraedr (qirrasi a) uchun: V = a³√2/12.

Misol

Muntazam to‘rtburchakli piramidaning asos tomoni 6, balandligi 4. Hajmini toping.

1. Asos — kvadrat: S = 36.
2. V = ⅓ · 36 · 4 = 48.

Misol

Konusda R = 3, h = 4. Hajmini toping.

1. Asos yuzi πR² = 9π.
2. V = ⅓ · 9π · 4 = 12π.

§4. Kesik piramida va kesik konus

Asosga parallel tekislik bilan uchi kesib tashlangan piramida — kesik piramida. Asoslari yuzlari S₁ va S₂, balandligi h:

Ikkinchi formula birinchisidan S₁ = πR², S₂ = πr² qo‘yib olinadi. Formulani eslab qolmasangiz, kesik jismni «katta piramida minus kichik piramida» sifatida hisoblash ham mumkin.

Misol

Kesik konus asoslari radiuslari 3 va 1, balandligi 3. Hajmini toping.

1. R² + Rr + r² = 9 + 3 + 1 = 13.
2. V = ⅓ π · 3 · 13 = 13π.

§5. Shar

Arximed natijasi: silindrga ichki chizilgan shar hajmi silindr hajmining 2/3 qismi. Tekshiramiz: R radiusli shar uchun silindr R radiusli va 2R balandlikli, V_sil = 2πR³, (4/3)πR³ : 2πR³ = 2/3.
Suv sathi masalalarida jism botirilganda siqib chiqarilgan suv hajmi jism hajmiga teng (Arximed qonuni).

Misol (suv sathi)

Radiusi 3 bo‘lgan shar radiusi 6 bo‘lgan silindrsimon idishdagi suvga to‘liq botirildi. Suv sathi qanchaga ko‘tariladi?

1. Shar hajmi: (4/3)π · 27 = 36π.
2. Ko‘tarilgan suv qatlami — radiusi 6, balandligi Δh silindr: π · 36 · Δh.
3. 36π · Δh = 36π → Δh = 1.

§6. O‘xshash jismlar va eritib quyish

Agar jismning barcha chiziqli o‘lchamlari k marta o‘zgarsa:

Sababi: yuz ikki o‘lchamning ko‘paytmasi, hajm — uchtasining. Masalan, shar radiusi 2 marta oshsa, hajmi 8 marta, sirti 4 marta oshadi.
Eritib quyishda (yoki suyuqlikni quyishda) hajm saqlanadi, shakl esa o‘zgaradi. Masalan, ikki o‘xshash idishdan biri ikkinchisidan 2 marta baland bo‘lsa, unga 8 marta ko‘p suv sig‘adi, uni bo‘yash uchun esa 4 marta ko‘p bo‘yoq kerak bo‘ladi.

Misol

Qirrasi 3 bo‘lgan kub eritilib, qirrasi 1 bo‘lgan kublar quyildi. Nechta kub chiqdi va sirt necha marta oshdi?

1. Hajm saqlanadi: 27 : 1 = 27 ta kub.
2. Dastlabki sirt: 6 · 9 = 54; yangi sirt: 27 · 6 = 162.
3. Sirt 162 : 54 = 3 marta oshdi.

O‘zingizni tekshiring

1. Qirrasi 4 bo‘lgan kub hajmi.

2. Hajmi 27 bo‘lgan kubning to‘la sirti.

3. R = 2, h = 3 bo‘lgan silindr hajmi.

4. Konus hajmi 12π, radiusi 3. Balandligini toping.

5. Asos yuzi 15, balandligi 8 bo‘lgan piramida hajmi.

6. Ikki o‘xshash konus balandliklari 2 : 3. Hajmlar nisbati?

7. Radiusi 3 bo‘lgan shar hajmi.

8. Qirrasi 6 bo‘lgan muntazam tetraedr hajmi.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Piramida va konusda ⅓ ni unutish.
• Shar hajmida R² yozish — R³ bo‘lishi kerak.
• O‘xshash jismlar hajmini k yoki k² marta deb olish — hajm k³ marta o‘zgaradi.
• Birliklarni noto‘g‘ri almashtirish: 1 m³ = 1000 dm³, 100 emas; 1 dm³ = 1 l.
• Og‘ma prizmada balandlik o‘rniga yon qirrani olish.
• Asos yuzini hisoblashda tomonni yuz o‘rniga qo‘yish (masalan, kvadrat asosda a o‘rniga a² kerak).