Avval o‘rganing: Hosila va uning tatbiqlari
Integrallash — differensiallashga teskari amal: hosilasi ma’lum bo‘lgan funksiyani tiklash. Aniq integral esa egri chiziqli figuralar yuzasini, tezlik bo‘yicha bosib o‘tilgan yo‘lni hisoblash imkonini beradi. Imtihonda boshlang‘ich funksiya topish, Nyuton–Leybnits formulasi va yuzani hisoblash masalalari ko‘p uchraydi.
Agar F′(x) = f(x) bo‘lsa, F — f ning boshlang‘ich funksiyasi. Masalan, x³ — 3x² ning boshlang‘ichi. Lekin x³ + 5, x³ − 2 ham boshlang‘ich, chunki o‘zgarmasning hosilasi 0. Shuning uchun barcha boshlang‘ichlar to‘plami yoziladi:
∫f(x)dx = F(x) + C
Xossalar:
∫(f ± g)dx = ∫f dx ± ∫g dx, ∫k·f dx = k∫f dx
Har qanday javobni differensiallab tekshirish mumkin: natijaning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng bo‘lishi kerak.
f(x) = 3x² − 2 ning grafigi M(1; 3) nuqtadan o‘tuvchi boshlang‘ichini toping.
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫dx/x = ln|x| + C
∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
∫dx/cos²x = tg x + C, ∫dx/sin²x = −ctg x + C
∫eˣdx = eˣ + C, ∫aˣdx = aˣ/ln a + C
Chiziqli argument qoidasi (ichki funksiya kx + b bo‘lsa):
∫f(kx + b)dx = F(kx + b)/k + C
Nega k ga bo‘linadi? Chunki F(kx + b) ni differensiallasak, murakkab funksiya qoidasiga ko‘ra k ko‘paytuvchi paydo bo‘ladi — uni yo‘qotish kerak.
Namunalar:
∫dx/(1 − cos x) ni toping.
∫ₐᵇf(x)dx = F(b) − F(a)
Aniq integral — son (C qisqarib ketadi). Xossalari:
∫ₐᵃf dx = 0; chegaralar o‘rni almashsa, integral ishorasi o‘zgaradi; ∫ₐᵇf dx = ∫ₐᶜf dx + ∫ᶜᵇf dx
Toq funksiyaning simmetrik oraliqdagi integrali 0: ∫₋₂² x³dx = 0.
∫₀²(3x² − 2x)dx ni hisoblang.
Yana: ∫₀^(π/2) cos x dx = sin(π/2) − sin 0 = 1; ∫₁ᵉ dx/x = ln e − ln 1 = 1.
f(x) ≥ 0 bo‘lsa, egri chiziqli trapetsiya yuzi: S = ∫ₐᵇf(x)dx
Ikki chiziq orasida (f ≥ g): S = ∫ₐᵇ(f(x) − g(x))dx
Algoritm:
Grafik Ox dan pastda bo‘lsa, integral manfiy chiqadi — yuza uchun uning moduli olinadi. Masalan, y = sin x ning [0; π] dagi yuzasi: −cos π + cos 0 = 2.
y = x² va y = x + 2 bilan chegaralangan figura yuzasini toping.
Tezlik v(t) ma’lum bo‘lsa, [t₁; t₂] vaqtda bosib o‘tilgan yo‘l:
s = ∫ v(t)dt (t₁ dan t₂ gacha)
Masalan, v(t) = 3t² + 2t bo‘lsa, birinchi 2 sekunddagi yo‘l: t³ + t² |₀² = 8 + 4 = 12 m.
Aniq integralni har safar to‘g‘ridan to‘g‘ri hisoblash shart emas: uning xossalari hisobni qisqartiradi va ko‘p xatoning oldini oladi. Bu xossalar Nyuton–Leybnits formulasidan bevosita kelib chiqadi.
∫ₐᵇ(f ± g)dx = ∫ₐᵇf dx ± ∫ₐᵇg dx; ∫ₐᵇk·f dx = k·∫ₐᵇf dx
∫ₐᵃf dx = 0; chegaralar almashsa, integral ishorasi o‘zgaradi
∫ₐᵇf dx = ∫ₐᵐf dx + ∫ₘᵇf dx — oraliqni bo‘laklarga ajratish
Diqqat: toq funksiya integrali nolga teng bo‘lgani bilan, grafik va Ox orasidagi yuza nol emas. Yuzani topishda §4 dagi qoida — Ox ostidagi qismni modul bilan olish — saqlanadi.
∫₋₂²(x³ − 3x + 4)dx va ∫₀³|x − 1|dx ni hisoblang.