Avval o‘rganing: To‘rtburchaklar
Ko‘pburchak — tekislikda bir-biri bilan ketma-ket tutashgan kesmalardan (tomonlardan) tuzilgan yopiq shakl. Uchburchak, to‘rtburchak, beshburchak — hammasi ko‘pburchakning xususiy holatlari. Ko‘pburchak masalalari ikki asosiy g‘oyaga tayanadi: burchaklar yig‘indisi (ko‘pburchakni uchburchaklarga bo‘lish orqali) va muntazam ko‘pburchakni markazdan teng uchburchaklarga ajratish. Ikkinchi g‘oya ichki va tashqi aylanalar bilan bog‘liq masalalarni oson yechishga imkon beradi. Imtihonda bu mavzudan burchaklar, diagonallar soni, radiuslar va yuzga oid savollar deyarli har yili uchraydi.
n ta uchi bo‘lgan ko‘pburchak n-burchak deyiladi; uning n ta tomoni va n ta ichki burchagi bor. Qo‘shni bo‘lmagan ikki uchni tutashtiruvchi kesma diagonal deyiladi.
Qavariq ko‘pburchak — har bir tomonini davom ettirgan to‘g‘ri chiziqqa nisbatan butunlay bir tomonda yotadigan ko‘pburchak. Qavariq ko‘pburchakning har bir ichki burchagi 180° dan kichik, barcha diagonallari uning ichida yotadi. Maktab kursida va imtihonda, agar boshqacha aytilmagan bo‘lsa, ko‘pburchak qavariq deb olinadi.
Perimetr P — barcha tomonlar uzunliklari yig‘indisi.
Qavariq n burchakning bitta uchidan barcha diagonallarni o‘tkazamiz. Bu uchdan n − 3 ta diagonal chiqadi (o‘zi va ikki qo‘shni uchga diagonal o‘tkazib bo‘lmaydi) va ular ko‘pburchakni n − 2 ta uchburchakka bo‘ladi. Har bir uchburchak burchaklari yig‘indisi 180°, uchburchaklar burchaklari birgalikda aynan ko‘pburchak burchaklarini tashkil qiladi. Shuning uchun:
Ichki burchaklar yig‘indisi S = 180°(n − 2)
Tekshirib ko‘ramiz: uchburchak 180°, to‘rtburchak 360°, beshburchak 540°, oltiburchak 720°. Har bir yangi uch yig‘indini 180° ga oshiradi.
Teskari masalada yig‘indidan n topiladi: n = S/180° + 2. Agar S soni 180° ga bo‘linmasa, bunday ko‘pburchak mavjud emas.
Ko‘pburchakning ichki burchaklari yig‘indisi 1440°. Uning nechta tomoni bor?
Tashqi burchak — ichki burchakka qo‘shni burchak, ya’ni bir tomon va qo‘shni tomonning davomi orasidagi burchak. Har bir uchda ichki va tashqi burchak yig‘indisi 180°. Barcha uchlar bo‘yicha: 180°n − 180°(n − 2) = 360°.
Tashqi burchaklar yig‘indisi (har uchda bittadan) 360° — n ga bog‘liq emas
Buni ko‘pburchak bo‘ylab aylanib chiqqan odam misolida tushunish oson: u har bir uchda tashqi burchakka buriladi va oxirida to‘liq bir marta, ya’ni 360° ga aylangan bo‘ladi.
Diagonallar soni. Har bir uchdan n − 3 ta diagonal chiqadi, jami n(n − 3). Lekin har bir diagonal ikki uchdan sanaladi, shuning uchun ikkiga bo‘lamiz:
Diagonallar soni d = n(n − 3)/2
Masalan, o‘nburchakda 10 · 7/2 = 35 ta diagonal bor. Diagonallar soni 20 bo‘lsa, n(n − 3) = 40 → n = 8.
Muntazam ko‘pburchak — barcha tomonlari ham, barcha burchaklari ham teng bo‘lgan qavariq ko‘pburchak. Muntazam uchburchak — teng tomonli uchburchak, muntazam to‘rtburchak — kvadrat. E’tibor bering: romb tomonlari teng, lekin burchaklari teng emas, shuning uchun u muntazam emas; to‘g‘ri to‘rtburchak burchaklari teng, lekin tomonlari teng emas.
Burchaklar teng bo‘lgani uchun yig‘indini n ga bo‘lamiz:
Ichki burchak α = 180°(n − 2)/n, tashqi burchak β = 360°/n
n ni topishning eng tez yo‘li — tashqi burchak orqali: ichki burchak 140° → tashqi 180° − 140° = 40° → n = 360/40 = 9.
Muntazam ko‘pburchakning tashqi burchagi 360° ning bo‘luvchisi bo‘lishi kerak. Shuning uchun, masalan, ichki burchagi 130° bo‘lgan muntazam ko‘pburchak yo‘q: tashqi burchak 50°, 360/50 butun emas.
Muntazam 12 burchakning ichki burchagini toping.
Har bir muntazam ko‘pburchakka tashqi aylana (uchlaridan o‘tadi) va ichki aylana (tomonlariga urinadi) chizish mumkin, ularning markazlari bir nuqtada yotadi. Markazni uchlar bilan tutashtirsak, n ta teng teng yonli uchburchak hosil bo‘ladi; har birining markazdagi burchagi 360°/n, yon tomonlari R, asosi esa ko‘pburchak tomoni a. Shu uchburchakning balandligi — ichki aylana radiusi r (apofema). Balandlik uchburchakni ikkita to‘g‘ri burchakli uchburchakka bo‘ladi, ularning markazdagi burchagi 180°/n. Shu yerdan:
a = 2R sin(180°/n), r = R cos(180°/n), a = 2r tg(180°/n)
Xususiy holatlar: uchburchak a = R√3, r = R/2; kvadrat a = R√2, r = a/2; oltiburchak `a = R`, r = a√3/2
Oltiburchakda a = R bo‘lishining sababi: markaziy burchak 60°, ya’ni oltita uchburchakning har biri teng tomonli.
Pifagor teoremasi bo‘yicha R² = r² + (a/2)². Bundan ichki va tashqi aylanalar orasidagi halqa yuzi faqat tomonga bog‘liq:
π(R² − r²) = π(a/2)²
Radiusi 6 bo‘lgan aylanaga muntazam uchburchak ichki chizilgan. Uchburchak tomoni, ichki aylana radiusi va yuzini toping.
Muntazam sakkizburchakka ichki chizilgan aylana radiusi r = 2 + √2. Ichki va tashqi aylanalar orasidagi halqa yuzi?
Ko‘pburchak n ta teng uchburchakdan iborat, har birining yuzi ½ a r. Demak:
S = ½ P · r (yarim perimetr ko‘paytiruv ichki radius)
S = ½ n R² sin(360°/n)
Muntazam oltiburchak: S = 6 · (a²√3/4) = 3√3a²/2
Masalan, radiusi 5 bo‘lgan aylanaga ichki chizilgan kvadrat yuzi: ½ · 4 · 25 · sin 90° = 50 (yoki a = 5√2, a² = 50).
Muntazam oltiburchak tomoni 4. R, r va yuzini toping.