Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi — geometriyadagi eng ko‘p qo‘llanadigan natija. U to‘g‘ri burchakli uchburchakning uchala tomonini bitta oddiy tenglik bilan bog‘laydi. Masofa, diagonal, balandlik topishda, koordinatalar va fazoviy masalalarda deyarli har doim to‘g‘ri burchakli uchburchak "yashiringan" bo‘ladi — uni ko‘ra bilish asosiy mahorat. Bu darsda teoremaning o‘zi, isboti, teskari teorema, Pifagor uchliklari, to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi metrik munosabatlar va amaliy qo‘llanishlar ketma-ket tushuntiriladi.

§1. Asosiy tushunchalar va teorema

To‘g‘ri burchakli uchburchakda bitta burchak 90° ga teng. To‘g‘ri burchak qarshisidagi tomon gipotenuza deyiladi — u har doim eng uzun tomon. To‘g‘ri burchakni hosil qiluvchi ikki tomon katetlar deyiladi.

So‘z bilan: gipotenuza kvadrati katetlar kvadratlarining yig‘indisiga teng. Bundan ikkita ishchi formula kelib chiqadi:

Gipotenuzani topishda kvadratlar qo‘shiladi, katetni topishda esa ayiriladi. Katet hech qachon gipotenuzadan katta bo‘lmaydi — javobni shu bilan tekshirish qulay.
Nega to‘g‘ri? Tomoni a + b bo‘lgan kvadrat ichiga to‘rtta bir xil to‘g‘ri burchakli uchburchak va tomoni c bo‘lgan kvadrat joylanadi. Yuzalarni tenglaymiz: (a + b)² = 4 · ab/2 + c². Chap tomonni ochamiz: a² + 2ab + b² = 2ab + c², bundan a² + b² = c². Isbot shuni ko‘rsatadiki, teorema aslida yuzalar haqidagi tasdiq: katetlarga qurilgan kvadratlar yuzalari yig‘indisi gipotenuzaga qurilgan kvadrat yuzasiga teng.

Misol

Katetlar 5 va 12. Gipotenuza va perimetrni toping.

1. c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
2. c = √169 = 13.
3. Perimetr: 5 + 12 + 13 = 30.

§2. Teskari teorema va uchburchak turini aniqlash

Teskari teorema: agar uchburchak tomonlari uchun c² = a² + b² bajarilsa, uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘ladi va to‘g‘ri burchak c tomon qarshisida yotadi. Bu teorema tomonlar orqali burchakni aniqlash imkonini beradi.
Kengaytmasi (bu yerda c — eng katta tomon):

Nega shunday? Kosinuslar teoremasi c² = a² + b² − 2ab·cos C ni eslang: cos C < 0 (o‘tmas burchak) bo‘lsa, c² kattalashadi, cos C > 0 bo‘lsa, kichiklashadi. Pifagor teoremasi — kosinuslar teoremasining C = 90° dagi xususiy holi.
Muhim: har doim eng katta tomonni tekshirish kerak, chunki eng katta burchak eng katta tomon qarshisida yotadi.

Misol

Tomonlari 5, 6, 8 bo‘lgan uchburchak qanday?

1. Eng katta tomon 8: 8² = 64.
2. Qolganlari: 5² + 6² = 25 + 36 = 61.
3. 64 > 61, demak uchburchak o‘tmas burchakli.

§3. Pifagor uchliklari va maxsus uchburchaklar

a² + b² = c² ni qanoatlantiruvchi butun sonlar Pifagor uchliklari deyiladi. Eng ko‘p uchraydiganlari: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 9, 40, 41. Har bir uchlikning karralilari ham uchlik bo‘ladi: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 15, 20, 25; 10, 24, 26. Ularni tanish hisoblashni ancha tezlashtiradi: masalan, 15 va 20 ni ko‘rsangiz, 5 ga bo‘lib 3, 4 ni taniysiz va gipotenuza darhol 25.
Ikki maxsus uchburchakni yoddan bilish shart:

Birinchisi teng tomonli uchburchakni balandlik bo‘yicha ikkiga bo‘lishdan hosil bo‘ladi: tomon 2a, asosning yarmi a, balandlik √(4a² − a²) = a√3. Ikkinchisi kvadratning diagonali bilan bo‘lingan yarmi.

Misol

Gipotenuza 10, bir burchak 30°. Katetlarni toping.

1. 30° qarshisidagi katet gipotenuzaning yarmi: 10 : 2 = 5.
2. Ikkinchi katet: √(100 − 25) = √75 = 5√3.
3. Javob: 5 va 5√3.

§4. To‘g‘ri burchakli uchburchakdagi metrik munosabatlar

To‘g‘ri burchak uchidan gipotenuzaga balandlik h tushiramiz. U gipotenuzani a_c va b_c kesmalarga (katetlarning proyeksiyalariga) bo‘ladi. Hosil bo‘lgan ikki kichik uchburchak berilgan uchburchakka o‘xshash, shuning uchun:

h = ab/c formulasi yuzani ikki usulda yozishdan kelib chiqadi: S = ab/2 = c·h/2. Tashqi aylana markazi gipotenuzaning o‘rtasida yotadi, chunki to‘g‘ri burchak diametrga tiralgan ichki chizilgan burchakdir.

Misol

Katetlar 6 va 8. Gipotenuza, balandlik va radiuslarni toping.

1. c = √(36 + 64) = 10.
2. h = 6 · 8/10 = 4,8.
3. R = 10/2 = 5, r = (6 + 8 − 10)/2 = 2.

Misol

Balandlik gipotenuzani 3,6 va 6,4 kesmalarga bo‘ladi. Balandlik va katetlarni toping.

1. h² = 3,6 · 6,4 = 23,04 → h = 4,8.
2. Gipotenuza c = 3,6 + 6,4 = 10.
3. a² = 10 · 3,6 = 36 → a = 6; b² = 10 · 6,4 = 64 → b = 8.

§5. Amaliy qo‘llanishlar

Ko‘p masalalarda to‘g‘ri burchakli uchburchakni o‘zingiz "chizib olishingiz" kerak:

• Narvon: 13 m narvon devordan 5 m uzoqlikda turibdi — devorga √(169 − 25) = 12 m balandlikda tegadi.
• Romb: diagonallar 10 va 24 → tomoni √(5² + 12²) = 13 (diagonallar perpendikulyar va teng ikkiga bo‘linadi).
• Teng yonli uchburchak: 10, 10, 12 → balandlik √(100 − 36) = 8, yuzi ½ · 12 · 8 = 48.
• To‘g‘ri to‘rtburchak: tomonlari 9 va 40 → diagonali √(81 + 1600) = 41.
• Aylana vatari: radius 13, vatar markazdan 5 uzoqlikda → vatar yarmi 12, vatar 24.

Misol

Teng yonli trapetsiyaning asoslari 4 va 16, yon tomoni 10. Balandligini toping.

1. Yuqori asos uchlaridan balandliklar tushiramiz: pastki asosdan chetlarda (16 − 4)/2 = 6 dan kesma qoladi.
2. Yon tomon, balandlik va 6 li kesma to‘g‘ri burchakli uchburchak hosil qiladi.
3. h = √(10² − 6²) = √64 = 8.

§6. Koordinatalar va fazodagi Pifagor

Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi — Pifagor teoremasining o‘zi: gorizontal farq va vertikal farq katetlar, masofa esa gipotenuza.

Parallelepiped formulasi teoremani ikki marta qo‘llashdan chiqadi: avval asos diagonali √(a² + b²), keyin u va balandlik c dan fazoviy diagonal.

Misol

A(1; 2) va B(4; 6) nuqtalar orasidagi masofani toping.

1. Farqlar: 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4.
2. AB = √(3² + 4²) = √25.
3. AB = 5.

O‘zingizni tekshiring

1. Gipotenuza 17, katet 8. Ikkinchi katetni toping.

2. 7, 24, 25 uchburchak to‘g‘ri burchaklimi?

3. Tomoni 4 bo‘lgan kvadrat diagonalini toping.

4. Katetlar 9 va 12. Ichki aylana radiusini toping.

5. Katetlar 9 va 12. Gipotenuzaga tushirilgan balandlikni toping.

6. O‘lchamlari 3, 4, 12 bo‘lgan parallelepiped diagonalini toping.

7. Tomonlari 6, 7, 9 bo‘lgan uchburchak qanday turdagi?

8. Radiusi 26 bo‘lgan aylanada markazdan 10 uzoqlikdagi vatar uzunligini toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Gipotenuza o‘rniga katetni kvadratlar yig‘indisiga tenglash.
• Uchburchak to‘g‘ri burchakli ekanini tekshirmay teoremani qo‘llash.
• Uchburchak turini aniqlashda eng katta tomonni emas, ixtiyoriy tomonni tekshirish.
• 30° qarshisidagi katetni gipotenuzaning yarmi emas, boshqa katetning yarmi deb olish.
• Rombda yarim diagonallar o‘rniga butun diagonallarni olish.
• √(a² + b²) ni a + b ga teng deb soddalashtirish.