Avval o‘rganing: Ehtimollik nazariyasi asoslari
Statistika ma’lumotlarni yig‘ish, tartiblash va ularni bir nechta son bilan ixcham tavsiflash haqidagi fan. Imtihonda o‘rta arifmetik, mediana, moda, qator kengligi, dispersiya va diagrammalarni o‘qish bo‘yicha savollar beriladi. Ayniqsa «yangi qiymat qo‘shildi — o‘rtacha qanday o‘zgardi» turidagi masalalar ko‘p uchraydi.
Barcha nisbiy chastotalar yig‘indisi 1 (yoki 100%) ga teng — bu hisobni tekshirishning qulay usuli.
Masalan, 10 o‘quvchining baholari: 5 — 5 ta, 4 — 3 ta, 3 — 2 ta. Nisbiy chastotalar: 50%, 30%, 20%.
O‘rta arifmetik: x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n
Vaznli o‘rta: x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ)/(f₁ + f₂ + … + fₖ)
Mediana — tartiblangan qatorning o‘rtasidagi qiymat; n juft bo‘lsa, ikki o‘rtadagisining o‘rtachasi
Moda — eng ko‘p uchraydigan qiymat; qator kengligi — max − min
Har birining ma’nosi bor: o‘rtacha barcha qiymatlarni hisobga oladi, lekin juda katta yoki kichik «chetga chiqqan» qiymatlarga sezgir; mediana esa ularga befarq. Masalan, 3, 4, 5, 100 da x̄ = 28, mediana 4,5 — mediana «tipik» qiymatni yaxshiroq ko‘rsatadi.
Modaga kelsak: qatorda bir nechta moda bo‘lishi yoki umuman bo‘lmasligi mumkin (barcha qiymatlar bir martadan uchrasa).
2, 3, 3, 5, 7 qatori uchun o‘rta arifmetik, moda, mediana va qator kengligini toping.
Yuqoridagi baholar (5 — 5 ta, 4 — 3 ta, 3 — 2 ta) uchun o‘rtacha baho.
Asosiy g‘oya — o‘rtachadan yig‘indiga o‘tish: yig‘indi = x̄·n. O‘rtachalarni to‘g‘ridan to‘g‘ri qo‘shish yoki ayirish mumkin emas.
20 o‘quvchi bo‘yining o‘rtachasi 140 sm. Yana 2 o‘quvchi qo‘shilgach, o‘rtacha 141 sm bo‘ldi. Yangi ikki o‘quvchi bo‘ylari yig‘indisi qancha?
O‘rtacha bir xil bo‘lgan ikki qator juda farq qilishi mumkin: 5, 5, 5 va 0, 5, 10. Qiymatlar o‘rtacha atrofida qanchalik «sochilganini» dispersiya o‘lchaydi:
D = ((x₁ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²)/n, σ = √D
Qulay formula: D = (x₁² + … + xₙ²)/n − x̄²
Nega kvadrat? Chetlanishlarning o‘zi yig‘indida doim 0 beradi (musbat va manfiylari qisqaradi), kvadratlar esa manfiy emas.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 uchun dispersiya va standart chetlanishni toping.
1% = 3,6°; sektor burchagi = ulush·360°
Diagrammani o‘qishda avval o‘qlarning birligi va boshlanish nuqtasiga qarang: o‘q 0 dan boshlanmasa, ustunlar farqi ko‘zga katta ko‘rinadi. Ustunli chastota diagrammasida barcha ustunlar balandliklari yig‘indisi tanlanma hajmi n ga teng.
40 o‘quvchidan 10 tasi futbolni tanladi. Doiraviy diagrammada bu sektor burchagi qancha?
O‘rtacha qiymat qator haqida hamma narsani aytmaydi. Masalan, 5, 5, 5 va 0, 5, 10 qatorlarining o‘rtachasi bir xil — 5, lekin ikkinchisi ancha «tarqoq». Tarqoqlikning eng sodda o‘lchovi — kenglik (variatsiya kengligi):
Kenglik = x_max − x_min — eng katta va eng kichik qiymatlar ayirmasi
Kenglikni hisoblash oson, ammo u faqat ikki chetki qiymatga bog‘liq. Shu sababli aniqroq tahlil uchun §4 dagi dispersiya va standart chetlanish ishlatiladi.
Qatorda boshqalardan keskin ajralib turuvchi qiymat (masalan, sinf o‘quvchilari bo‘yi orasida xato yozilgan 1700 sm) bo‘lishi mumkin. Bunday qiymat statistik ko‘rsatkichlarga har xil ta’sir qiladi:
Shuning uchun daromad, uy narxi kabi «notekis» ma’lumotlarda o‘rtacha emas, mediana ko‘proq ma’lumot beradi. Hisobot o‘qiyotganda qaysi ko‘rsatkich ishlatilganiga e’tibor bering: «o‘rtacha maosh» ko‘pchilik oladigan maoshdan ancha katta bo‘lishi mumkin.
Kichik firmadagi 8 xodimning oylik maoshi (mln so‘m): 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 30. O‘rtacha, mediana va kenglikni toping. Rahbarning maoshi (30) olib tashlansa, nima o‘zgaradi?