Trigonometrik ayniyatlar

Ayniyatlar — burchakning har qanday (ruxsat etilgan) qiymatida to‘g‘ri bo‘ladigan tengliklar. Ular yordamida bitta funksiya ma’lum bo‘lsa, qolganlarini topish, ifodalarni soddalashtirish, tengliklarni isbotlash va katta burchaklarni o‘tkir burchakka keltirish mumkin. Bu ko‘nikmalar trigonometrik tenglamalar, hosila va integral mavzularida ham doimo kerak bo‘ladi. Darsda asosiy ayniyat va undan kelib chiqadigan formulalar, chorak bo‘yicha ishorani tanlash, soddalashtirish va isbotlash usullari hamda keltirish formulalari tushuntiriladi.

§1. Asosiy trigonometrik ayniyat

Birlik aylanadagi (cos α; sin α) nuqta markazdan 1 masofada yotadi. Pifagor teoremasi (yoki masofa formulasi) bo‘yicha:

Bu tenglik har qanday α da bajariladi — u trigonometriyaning "asosiy qonuni". Undan kelib chiqadiganlar:

Ikkinchisini olish uchun asosiy ayniyatni cos²α ga bo‘lamiz: sin²α/cos²α + 1 = 1/cos²α. Uchinchisi — sin²α ga bo‘lishdan. Bu formulalar tg yoki ctg ma’lum bo‘lganda cos va sin ni topishga imkon beradi.
Ayniyatlar faqat ifodalar aniqlangan joyda ishlaydi: tg α · ctg α = 1 formulasi α = πk/2 da ma’noga ega emas.

§2. Bitta funksiya bo‘yicha qolganlarini topish

Asosiy ayniyatdan:

Muhim: ildiz oldidagi ishora burchak qaysi chorakda ekaniga qarab tanlanadi. Ayniyat faqat kvadratni beradi, ishorani esa chorak hal qiladi. Bu eng ko‘p xato qilinadigan joy.
Tartib:

1. Chorakni aniqlab, har bir funksiya ishorasini yozib qo‘yamiz.
2. Mos ayniyat bilan kvadratni topamiz.
3. Ildiz chiqarib, oldindan aniqlangan ishorani qo‘yamiz.
4. Qolganlarini tg = sin/cos, ctg = 1/tg orqali topamiz.

Misol

sin α = 3/5, α II chorakda. cos α va tg α ni toping.

1. II chorakda cos α < 0.
2. cos α = −√(1 − 9/25) = −√(16/25) = −4/5.
3. tg α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.

Misol

tg α = 2, α III chorakda. sin α va cos α ni toping.

1. 1/cos²α = 1 + 4 = 5 → cos²α = 1/5.
2. III chorakda cos α < 0: cos α = −1/√5 = −√5/5.
3. sin α = tg α · cos α = −2/√5 = −2√5/5.

§3. Ifodalarni soddalashtirish

Asosiy usullar:

• 1 ni sin²α + cos²α ga almashtirish (yoki teskarisi).
• tg va ctg ni sin/cos va cos/sin ko‘rinishida yozish.
• Umumiy maxrajga keltirish va ko‘paytuvchilarga ajratish.
• Qisqa ko‘paytirish formulalarini qo‘llash.

Namunalar:

• (1 − cos²α)/(1 − sin²α) = sin²α/cos²α = tg²α.
• sin⁴α + cos⁴α = (sin²α + cos²α)² − 2sin²α cos²α = 1 − 2sin²α cos²α.
• (sin α + cos α)² = 1 + 2 sin α cos α.

`tg` berilgan bir jinsli kasrlar. tg α = 3 bo‘lsa, (sin α + cos α)/(sin α − cos α) ni topish uchun surat va maxrajni cos α ga bo‘lamiz: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 4/2 = 2. Burchakni topish shart emas.

Misol

sin α + cos α = 1/2 bo‘lsa, sin α · cos α ni toping.

1. Ikkala tomonni kvadratga oshiramiz: sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1/4.
2. 1 + 2 sin α cos α = 1/4.
3. sin α cos α = (1/4 − 1)/2 = −3/8.

§4. Ayniyatlarni isbotlash

Ayniyatni isbotlash — ikkala tomon barcha ruxsat etilgan α larda teng ekanini ko‘rsatish. Usullar:

• Murakkabroq tomonni soddalashtirib, ikkinchisiga keltirish.
• Ikkala tomonni bir xil ifodaga keltirish.
• Chap va o‘ng tomon ayirmasi 0 ga tengligini ko‘rsatish.

Tenglikning ikkala tomoni bilan bir vaqtda "ishlash" (masalan, ikkala tomonni kvadratga oshirish) isbot emas — bu begona holatlarni qo‘shishi mumkin.
Masalan, (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α: chap tomon 1 − sin²α = cos²α — isbotlandi. Yoki tg α + ctg α = 1/(sin α cos α): chap tomon (sin²α + cos²α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α).

§5. Keltirish formulalari

π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α burchaklar funksiyasini α funksiyasiga keltiradi. Ularni yodlash shart emas — "ot qoidasi" yetarli:

Nega shunday? π/2 + α ga burilish birlik aylanada koordinatalarni almashtiradi (x va y o‘rin almashadi), shuning uchun sin va cos o‘rin almashadi. π + α esa nuqtani markazga nisbatan simmetrik ko‘chiradi — ikkala koordinata faqat ishorasini o‘zgartiradi.
Namunalar: sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(π/2 + α) = cos α, cos(3π/2 + α) = sin α, tg(π + α) = tg α.

Misol

cos(3π/2 + α) ni soddalashtiring.

1. 3π/2 — vertikal o‘q, nom almashadi: cos → sin.
2. α o‘tkir bo‘lsa, 3π/2 + α — IV chorak, u yerda boshlang‘ich funksiya cos > 0, ishora +.
3. Javob: sin α.

§6. Katta burchaklar va aralash hisoblash

Avval to‘liq aylanishlarni (360° ga karralilarni) tashlaymiz, keyin keltirish formulasini qo‘llaymiz: sin 1110° = sin(1110° − 3·360°) = sin 30° = 1/2; cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2.

Misol

sin 150° · cos 240° + tg 225° ni hisoblang.

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
2. cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2; tg 225° = tg(180° + 45°) = 1.
3. 1/2 · (−1/2) + 1 = 3/4.

Misol

2(sin⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)) ni hisoblang.

1. cos(3π/8) = sin(π/8), sin(5π/8) = cos(π/8), cos⁴(7π/8) = cos⁴(π/8).
2. Yig‘indi: 2sin⁴(π/8) + 2cos⁴(π/8) = 2(1 − ½ sin²(π/4)) = 2 · 3/4 = 3/2.
3. 2 · 3/2 = 3.

O‘zingizni tekshiring

1. cos α = −5/13, α II chorakda. tg α ni toping.

2. sin²α · ctg²α + sin²α ni soddalashtiring.

3. sin(π/2 + α) ga teng ifodani yozing.

4. tg α = 1/2. (2 sin α − cos α)/(sin α + 3 cos α) ni toping.

5. cos 1020° ni hisoblang.

6. sin α + cos α = 1/3. sin α cos α ni toping.

7. (1 − sin α)(1 + sin α)/cos α ni soddalashtiring.

8. tg α = 3 bo‘lsa, (sin α + cos α)/(sin α − cos α) ni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Ildiz chiqarishda chorak ishorasini hisobga olmaslik.
• Keltirish formulasida nom almashishini unutish yoki ishorani yangi funksiya bo‘yicha tanlash.
• sin²α + cos²α = 1 ni sin α + cos α = 1 deb qo‘llash.
• Katta burchakdan to‘liq aylanishni noto‘g‘ri tashlash (360° emas, 180° ayirish).
• sin²α ni sin α² bilan adashtirish (birinchisi — sinusning kvadrati).
• Ayniyatni isbotlashda ikkala tomonni bir vaqtda o‘zgartirib, isbot deb hisoblash.