Основы теории относительности

При обычных скоростях механика Ньютона работает прекрасно. Но при скоростях, близких к скорости света, меняются свойства времени, длины, массы и правило сложения скоростей. Эти случаи описывает специальная теория относительности Эйнштейна (1905). Её выводы ежедневно подтверждаются в ускорителях частиц, в космических лучах и в спутниках GPS.

§1. Постулаты теории относительности

Принцип относительности Галилея: механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта, скорости просто складываются (v = v₁ + v₂). Однако опыт Майкельсона показал, что скорость света не зависит от движения Земли. Эйнштейн выдвинул два постулата:

1. Во всех инерциальных системах отсчёта все законы физики (механики и электродинамики) одинаковы.
2. Скорость света в вакууме c = 3·10⁸ m/s одинакова во всех инерциальных системах и не зависит от скорости источника и наблюдателя.

Важное следствие второго постулата: никакое тело или сигнал не может двигаться быстрее c. События, одновременные в одной системе, могут быть неодновременными в другой — одновременность относительна.

Это легко понять на мысленном опыте. В середине быстро движущегося вагона вспыхнула лампа. Для пассажира свет достигает передней и задней стенок одновременно — расстояния равны, скорость одинакова. Для наблюдателя на перроне задняя стенка движется навстречу свету, а передняя убегает от него; так как скорость света не зависит от движения источника, свет раньше достигнет задней стенки. Одни и те же два события в одной системе одновременны, а в другой происходят одно за другим. Поэтому и промежутки времени, и длины зависят от системы отсчёта. А то, что в опыте Майкельсона и Морли (1887) ожидаемого различия скорости света не нашли, привело к отказу от идеи «эфира».

В формулах ниже часто встречается релятивистский множитель:

§2. Замедление времени

Движущиеся часы идут медленнее относительно неподвижного наблюдателя:

t₀ — собственное время (измеренное в системе, движущейся вместе с часами), t — время, измеренное наблюдателем, всегда t > t₀.

Пример

Процесс на космическом корабле длится 4 s. Корабль летит относительно Земли со скоростью 0,6c. Сколько длится процесс для земного наблюдателя?

1. √(1 − 0,36) = 0,8.
2. t = 4/0,8 = 5 s.

Пример

Собственное время жизни мюона 2,2 μs. Он летит в атмосфере со скоростью 0,99c. Сколько он живёт в системе Земли и какой путь проходит?

1. √(1 − 0,99²) = √0,0199 ≈ 0,141.
2. t = 2,2/0,141 ≈ 15,6 μs.
3. s = 0,99·3·10⁸·1,56·10⁻⁵ ≈ 4,6·10³ m — вместо 650 m по классическому расчёту. Поэтому мюоны долетают до поверхности Земли.

§3. Сокращение длины

Размер движущегося тела в направлении движения сокращается:

l₀ — собственная длина (в системе, связанной с телом). Поперечные размеры не меняются.

Пример

Стержень длиной 1 m движется вдоль своей длины со скоростью 0,8c. Его длина?

1. √(1 − 0,64) = 0,6.
2. l = 1·0,6 = 0,6 m.

§4. Релятивистское сложение скоростей

• При малых скоростях знаменатель ≈ 1, и формула переходит в классическую v₁ + v₂.
• Если v₁ = c, то v = c — скорость света одинакова в любой системе.

Пример

Две частицы летят навстречу друг другу, каждая со скоростью 0,6c. Скорость одной относительно другой?

1. v = (0,6c + 0,6c)/(1 + 0,36) = 1,2c/1,36.
2. v ≈ 0,88c (а не 1,2c!).

§5. Связь массы и энергии

• Любое тело даже в покое обладает огромной энергией: 1 g вещества соответствует 10⁻³·9·10¹⁶ = 9·10¹³ J.
• На этой формуле основаны дефект массы, ядерная энергетика и аннигиляция.
• При v ≪ c E_k ≈ m₀v²/2, но при скоростях, близких к c, эта формула неверна.

Пример

Масса частицы в 5/3 раза больше массы покоя. Её скорость и кинетическая энергия?

1. √(1 − v²/c²) = 3/5 → v²/c² = 1 − 9/25 = 16/25 → v = 0,8c.
2. E_k = (5/3 − 1)m₀c² = (2/3)m₀c².

Пример

Электрон (m₀ = 9,1·10⁻³¹ kg, E₀ ≈ 0,511 MeV) движется со скоростью 0,6c. Его импульс и кинетическая энергия?

1. m = m₀/0,8 = 1,25m₀.
2. p = 1,25·9,1·10⁻³¹·1,8·10⁸ ≈ 2,05·10⁻²² kg·m/s.
3. E_k = (1,25 − 1)·0,511 ≈ 0,128 MeV.

§6. Связь энергии и импульса, подтверждения теории

Связь полной энергии, импульса и энергии покоя верна при любой скорости:

Для частицы с нулевой массой покоя — фотона — E = pc: он движется только со скоростью c и не бывает в покое.

Теория относительности — не только теория: её учитывают в повседневной технике.

• Часы спутников GPS из-за скорости отстают примерно на 7 мкс в сутки, а из-за более слабого поля тяготения (общая теория относительности) спешат примерно на 45 мкс; без этих поправок ошибка определения положения накапливалась бы на километры в сутки.
• В ускорителях частиц протоны движутся со скоростью, очень близкой к c, но никогда её не превышают; при сообщении энергии растут в основном их импульс и энергия.
• Солнце в термоядерных реакциях каждую секунду превращает в энергию излучения около 4·10⁹ кг массы (Δm = P/c²).

Пример

Для электрона со скоростью 0,6c (E₀ = 0,511 МэВ) найдите полную энергию и pc, проверьте E² = (pc)² + E₀².

1. E = E₀/0,8 = 1,25·0,511 ≈ 0,639 МэВ.
2. pc = mvc = 1,25·0,6·0,511 ≈ 0,383 МэВ.
3. Проверка: √(0,639² − 0,511²) ≈ 0,383 МэВ — совпадает.

Проверьте себя

1. Часы на корабле показали 3 s. Корабль летит со скоростью 0,8c. Сколько прошло по земным часам?

2. Корабль с собственной длиной 10 m летит со скоростью 0,6c. Его длина для земного наблюдателя?

3. Сложите релятивистски скорости 0,5c и 0,5c.

4. Энергия покоя 1 kg вещества?

5. При какой скорости кинетическая энергия равна энергии покоя?

6. С ракеты, летящей со скоростью 0,9c, вперёд испустили свет. Его скорость относительно Земли?

7. Мощность излучения Солнца 3,8·10²⁶ Вт. Какую массу оно теряет за секунду?

8. С какой скоростью движется частица с нулевой массой покоя?

Типичные ошибки

• Складывать релятивистские скорости обычным образом (результат превышает c).
• Применять E_k = mv²/2 при скоростях, близких к скорости света.
• Путать t и t₀: собственное время всегда меньше.
• Думать, что длина сокращается во всех направлениях: только вдоль движения.
• Забывать возводить v/c в квадрат: не √(1 − v/c), а √(1 − v²/c²).