Сначала изучите: Натуральные числа и действия
Делимость — основа арифметики натуральных чисел. Признаки делимости позволяют, не выполняя деления, сказать, делится ли число на данное. Простые числа и разложение на простые множители раскрывают «состав» любого числа. НОД и НОК нужны для сокращения дробей, приведения к общему знаменателю и задач вида «когда они снова встретятся». Тема напрямую связана с теорией чисел, дробями и целочисленными решениями уравнений.
Число a делится на b (a ⋮ b), если a = b·k (k — целое). Тогда b — делитель a, а a — кратное b.
Основные свойства делимости:
Простое число — натуральное число ровно с двумя делителями (1 и само число): 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Составное — число, у которого больше двух делителей. 1 — ни простое, ни составное. 2 — единственное чётное простое число.
Основная теорема арифметики: каждое составное число единственным образом раскладывается на простые множители
Чтобы проверить, простое ли число, достаточно делить его на простые числа, не превосходящие √n: если n = a·b и оба множителя больше √n, то произведение было бы больше n.
На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — оканчивается на 0
На 4 — если число из двух последних цифр делится на 4; на 25 — оканчивается на 00, 25, 50, 75
На 8 — если число из трёх последних цифр делится на 8
На 3 — если сумма цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9
На 11 — если разность сумм цифр на нечётных и на чётных местах делится на 11
Почему признаки работают? 100 делится на 4 и на 25, поэтому часть числа, начиная с сотен, всегда делится на 4 — решают только две последние цифры. Так как 1000 ⋮ 8, для 8 хватает трёх последних цифр. 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 и так далее, поэтому число отличается от суммы своих цифр на кратное 9 — отсюда признаки для 3 и 9.
Составные делители: чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3; на 12 — на 3 и на 4; на 15 — на 3 на . Множители обязаны быть : проверять делимость на как «на 2 и на 6» неверно ( делится и на 2, и на 6, но не на 12).
Делится ли 918 082 на 11?
Четырёхзначное число 34*6 делится на 12. Какая цифра стоит вместо звёздочки?
Наибольшее число, на которое делится каждое из чисел. Способы нахождения:
Почему алгоритм Евклида верен? Если a = bq + r, то любой общий делитель a и b делит и r = a − bq, и наоборот. Значит, у пар (a, b) и (b, r) одни и те же общие делители.
Если НОД(a, b) = 1, числа взаимно простые: например, 8 и 15.
Найдите НОД(84, 126) двумя способами.
Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из чисел. Простые множители берутся в наибольших степенях.
НОД(a, b)·НОК(a, b) = a·b
НОК(84, 126) = 2²·3²·7 = 252. Проверка: 42·252 = 10 584 = 84·126.
Для взаимно простых чисел НОК(a, b) = a·b. При сложении дробей общим знаменателем берут именно НОК — тогда вычисления идут с наименьшими числами.
Один автобус отправляется каждые 12 минут, другой — каждые 18 минут. В 8:00 они отправились вместе. Когда они снова отправятся одновременно?
Если n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ, то каждый делитель n имеет вид p₁^b₁ · … · pₖ^bₖ, где 0 ≤ bᵢ ≤ aᵢ. Для каждого показателя есть aᵢ + 1 вариантов.
Число делителей τ(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1)
Например, 360 = 2³·3²·5, число делителей 4·3·2 = 24. Нечётное число делителей бывает ровно у полных квадратов (у 100 их 9).
Деление a на b с остатком: a = bq + r, 0 ≤ r < b. Остаток всегда меньше делителя.
«При делении на 2, 3, 4, 5, 6 каждый раз остаётся 1» — значит, число − 1 делится на все эти числа: число − 1 = НОК(2, 3, 4, 5, 6)·k = 60k. Наименьшее — 61.
Если «остаток каждый раз на 1 меньше делителя» (на 2 — 1, на 3 — 2, на 4 — 3), то на все числа делится число + 1.
Трёхзначное число 5a7 делится на 9. Найдите a.