Натуральные числа — фундамент математики. Отдельной темой они на экзамене встречаются нечасто, но почти в каждой задаче нужны порядок действий, деление с остатком или перебор натуральных решений. В этом уроке — от десятичной записи до задач «найдите наименьшее значение».
Натуральные числа — числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, …. Их множество обозначают N. Ноль — не натуральное число: это тонкость, которую часто проверяют.
Двузначное число: ab = 10a + b; трёхзначное: abc = 100a + 10b + c (a ≠ 0)
Это разложение — ключ к задачам о цифрах. Например, разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, всегда делится на 9: (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b).
Количество n-значных чисел: 9·10ⁿ⁻¹ (двузначных — 90, трёхзначных — 900)
Сумма и произведение натуральных чисел всегда натуральны. Разность и частное — не обязательно: 3 − 5, 7 : 2.
Переместительный: a + b = b + a, a·b = b·a
Сочетательный: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
Распределительный: a·(b + c) = a·b + a·c
Распределительный закон удобен в устном счёте: 37·99 = 37·(100 − 1) = 3700 − 37 = 3663.
Порядок действий: 1) скобки; 2) степени; 3) умножение и деление (слева направо); 4) сложение и вычитание (слева направо).
Вычислите 48 : 4·3 − 2·(5 − 3)².
Внимание: 48 : 4·3 — это не 48 : 12 = 4, действия идут слева направо.
Для любых a и b > 0 существуют единственные q (неполное частное) и r (остаток):
a = b·q + r, где 0 ≤ r < b
Остаток суммы и произведения находится по остаткам слагаемых (множителей). Например, 23·17 при делении на 5: 23 → 3, 17 → 2, 3·2 = 6 → 1. Остаток 1.
При делении числа на 7 неполное частное 15, остаток 4. Найдите число.
Задачи о натуральных числах часто формулируют на языке множеств.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
U = {x | −10 ≤ x ≤ 10, x ∈ Z}, A = {−7, …, 3}, B = {−3, …, 7}. Сколько элементов в дополнении A ∪ B?
В задачах «для натуральных чисел найдите наименьшее значение» надёжнее всего аккуратно выписать все возможные пары.
a·b = 30. Найдите наименьшее значение a + 2b − 1.
Логика: у b двойной вес, поэтому ищем пару с небольшим b, но и не слишком большим a.
В десятичной системе значение каждой цифры зависит от разряда, в котором она стоит (§1). Поэтому в задачах на цифры основной приём — записать число в виде суммы разрядных слагаемых.
Двузначное число: ab = 10a + b, где a ∈ {1, …, 9}, b ∈ {0, …, 9}
Трёхзначное число: abc = 100a + 10b + c
Из этой записи следует несколько полезных выводов:
Ещё один известный приём — сумма подряд идущих натуральных чисел. По преданию, юный Гаусс вычислил 1 + 2 + … + 100, объединив крайние числа в пары: 1 + 100 = 2 + 99 = … = 101, таких пар 50, значит, сумма равна 5050. В общем виде:
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2
В задаче на цифры всегда проверяйте ответ подстановкой в условие: цифры должны быть от 0 до 9, а первая цифра не может быть 0.
Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры поменять местами, число увеличится на 27. Найдите число.