Сначала изучите: Основы комбинаторики
Вероятность — мера того, насколько «ожидаемо» случайное событие, выраженная числом от 0 до 1. Экзаменационные задачи в основном связаны с классическим определением, подсчётом через комбинаторику, сложением и умножением событий и вопросами вида «хотя бы один». Ключ к успеху — сначала чётко представить все равновозможные исходы.
P(A) = m/n — m число благоприятных исходов, n число всех равновозможных исходов; 0 ≤ P(A) ≤ 1
Важное условие — исходы должны быть равновозможными. При броске двух костей суммы (от 2 до 12) не равновозможны, а пары (1; 1), (1; 2), …, (6; 6) равновозможны — их 36.
Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма очков равна 8?
Если исходов много, их не перечисляют, а считают через сочетания Cₙᵏ.
Из 10 лотерейных билетов 3 выигрышных. Наугад взяли 2 билета. Найдите вероятность того, что: а) оба выигрышные; б) ровно один выигрышный.
Несовместные: P(A + B) = P(A) + P(B)
В общем случае: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
Зачем вычитать P(AB)? Исходы, входящие в оба события, учтены и в P(A), и в P(B) — дважды.
Из колоды в 36 карт вынута одна карта. Какова вероятность, что это туз или карта червовой масти?
Если наступление одного события не меняет вероятность другого, события независимы:
P(AB) = P(A)·P(B)
Иначе используют условную вероятность:
P(AB) = P(A)·P(B | A)
Типичная зависимость — извлечение без возвращения: первый вынутый шар меняет состав урны.
«Хотя бы один» — через противоположное событие: P = 1 − P(ни одного).
Два стрелка стреляют по одному разу; вероятности попадания 0,8 и 0,7. Найдите вероятность того, что: а) попадут оба; б) попадёт хотя бы один; в) попадёт ровно один.
В мешке 8 синих и 8 красных шаров. Последовательно без возвращения вынимают 2. Какова вероятность, что оба синие?
Формула Бернулли: одно и то же испытание повторяется независимо n раз, вероятность «успеха» каждый раз p, q = 1 − p:
Pₙ(k) = Cₙᵏ pᵏ qⁿ⁻ᵏ
Например, при 4 бросках монеты ровно 2 раза выпадет герб с вероятностью C₄²·(1/2)⁴ = 6/16 = 3/8.
Геометрическая вероятность: если точку бросают наугад в область, вероятность — отношение мер (длин, площадей):
P = S(благоприятной области)/S(всей области)
Например, точка брошена в квадрат со стороной 2; вероятность попасть во вписанный круг: π·1²/4 = π/4.
Условная вероятность P(B | A) — вероятность события B при условии, что событие A произошло. При её вычислении вместо всего пространства исходов берутся только исходы, благоприятные для A:
P(B | A) = P(AB)/P(A), где P(A) > 0
Например, бросили игральную кость, и известно, что выпало чётное число. Вероятность того, что выпало число больше 5: чётные исходы 2, 4, 6, из них больше 5 только 6, значит, условная вероятность равна 1/3, а безусловная — всего 1/6. Условие меняет вероятность, потому что сужает множество возможных исходов.
Во многих задачах результат достигается несколькими «путями»: изделие поступает с разных заводов, шар вынимают из разных урн. Если H₁, H₂, …, Hₙ — попарно несовместные гипотезы, образующие полную группу (сумма их вероятностей равна 1), то:
P(A) = P(H₁)·P(A | H₁) + P(H₂)·P(A | H₂) + … + P(Hₙ)·P(A | Hₙ)
Это формула полной вероятности. Её удобно представлять в виде «дерева»: вероятности вдоль одной ветви перемножаются, а ветви, ведущие к нужному результату, складываются.
Обратный вопрос — с какой вероятностью событие A произошло через данную гипотезу — решает формула Байеса: P(Hᵢ | A) = P(Hᵢ)·P(A | Hᵢ)/P(A).
60% ламп в магазине выпущено первым заводом, 40% — вторым. Брак составляет 2% продукции первого завода и 5% — второго. Найдите вероятность того, что случайно взятая лампа бракованная, а затем вероятность того, что бракованная лампа изготовлена первым заводом.