Статистика и анализ данных

Статистика — наука о сборе и упорядочении данных и их кратком описании несколькими числами. На экзамене спрашивают среднее арифметическое, медиану, моду, размах, дисперсию и чтение диаграмм. Особенно часто встречаются задачи вида «добавили новое значение — как изменилось среднее».

§1. Ряд данных и частоты

• Выборка — набор наблюдённых значений; их количество — объём выборки n.
• Частота — сколько раз встречается значение; относительная частота — частота / n (часто в процентах).
• Вариационный ряд — значения, записанные по возрастанию.

Сумма всех относительных частот равна 1 (или 100%) — удобная проверка вычислений.
Например, оценки 10 учеников: 5 — 5 раз, 4 — 3 раза, 3 — 2 раза. Относительные частоты: 50%, 30%, 20%.

§2. Меры центральной тенденции

У каждой меры свой смысл: среднее учитывает все значения, но чувствительно к сильно выделяющимся («выбросам»); медиана к ним безразлична. Например, для 3, 4, 5, 100 имеем x̄ = 28, медиана 4,5 — медиана лучше отражает «типичное» значение.
Мод может быть несколько или не быть вовсе (если все значения встречаются по одному разу).

Пример

Для ряда 2, 3, 3, 5, 7 найдите среднее, моду, медиану и размах.

1. x̄ = (2 + 3 + 3 + 5 + 7)/5 = 20/5 = 4.
2. Мода — 3 (встречается дважды).
3. Ряд упорядочен, среднее (третье) значение — медиана 3.
4. Размах: 7 − 2 = 5.

Пример

Найдите средний балл для оценок выше (5 — 5 раз, 4 — 3 раза, 3 — 2 раза).

1. Взвешенное среднее: (5·5 + 4·3 + 3·2)/10 = (25 + 12 + 6)/10.
2. x̄ = 43/10 = 4,3.

§3. Среднее при изменении данных

Главная идея — переход от среднего к сумме: сумма = x̄·n. Средние нельзя напрямую складывать и вычитать.

• Если к каждому значению прибавить a: среднее, медиана, мода увеличатся на a; размах и дисперсия не изменятся.
• Если каждое значение умножить на k: среднее изменится в k раз, дисперсия — в k² раз.

Пример

Средний рост 20 учеников — 140 см. После прихода ещё 2 учеников средний рост стал 141 см. Найдите сумму ростов новых учеников.

1. Прежняя сумма: 20·140 = 2800.
2. Новая сумма: 22·141 = 3102.
3. 3102 − 2800 = 302 см.

§4. Разброс: дисперсия и стандартное отклонение

Два ряда с одинаковым средним могут сильно различаться: 5, 5, 5 и 0, 5, 10. Насколько значения «разбросаны» вокруг среднего, показывает дисперсия:

Почему квадраты? Сумма самих отклонений всегда равна 0 (положительные и отрицательные сокращаются), а квадраты неотрицательны.

Пример

Найдите дисперсию и стандартное отклонение ряда 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

1. x̄ = 40/8 = 5.
2. Квадраты отклонений: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16, сумма 32.
3. D = 32/8 = 4, σ = 2.

§5. Диаграммы

• Столбчатая диаграмма — для сравнения категорий; высота столбца — частота.
• Круговая диаграмма показывает части целого. Весь круг — 360°:

• Линейный график показывает изменение во времени.

Читая диаграмму, сначала посмотрите на единицы и начало осей: если ось начинается не с 0, разница между столбцами кажется больше, чем есть. В столбчатой диаграмме частот сумма высот всех столбцов равна объёму выборки n.

Пример

Из 40 учеников 10 выбрали футбол. Каков угол соответствующего сектора круговой диаграммы?

1. Доля: 10/40 = 25%.
2. 25·3,6° = 90°.

§6. Размах и резко выделяющиеся значения

Среднее значение говорит о ряде далеко не всё. Например, у рядов 5, 5, 5 и 0, 5, 10 одинаковое среднее — 5, но второй гораздо более «разбросан». Самая простая мера разброса — размах:

Размах легко вычислить, но он зависит только от двух крайних значений. Поэтому для более точного анализа используют дисперсию и стандартное отклонение из §4.
В ряду может оказаться значение, резко выделяющееся среди остальных (например, ошибочно записанные 1700 см среди ростов учеников класса). Такое значение по-разному влияет на статистические показатели:

• Среднее очень чувствительно к нему: одно большое число меняет всю сумму.
• Медиана почти не меняется: она зависит только от порядка значений.
• Размах резко возрастает, так как вычисляется именно по крайнему значению.

Поэтому для «неравномерных» данных — доходов, цен на жильё — медиана информативнее среднего. Читая отчёт, обращайте внимание, какой показатель использован: «средняя зарплата» может быть намного больше той, которую получает большинство.

Пример

Месячные зарплаты 8 сотрудников небольшой фирмы (млн сумов): 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 30. Найдите среднее, медиану и размах. Что изменится, если убрать зарплату руководителя (30)?

1. Сумма 60, среднее 60/8 = 7,5.
2. Медиана (n = 8 чётное): (4 + 5)/2 = 4,5.
3. Размах: 30 − 3 = 27.
4. Без 30: среднее 30/7 ≈ 4,29, медиана — 4-е значение 4, размах 6 − 3 = 3.
5. Вывод: среднее упало с 7,5 до 4,29, а медиана изменилась всего на 0,5 — медиана устойчива к выбросам.

Проверьте себя

1. Найдите среднее, медиану и моду ряда 6, 2, 8, 2, 7.

2. Найдите медиану ряда 3, 9, 1, 7, 5, 11.

3. Среднее 5 чисел равно 12. После удаления одного числа среднее оставшихся 4 стало 10. Какое число удалили?

4. Найдите дисперсию ряда 2, 4, 6, 8.

5. Среднее ряда 10, дисперсия 4. Каждое значение увеличили на 3. Новые среднее и дисперсия?

6. Угол сектора круговой диаграммы для 15%.

7. Найдите размах ряда 12, 7, 19, 4, 10.

8. К ряду 2, 4, 6, 8 добавили 100. Новые медиана и среднее?

Типичные ошибки

• Находить медиану, не упорядочив ряд.
• При чётном n брать за медиану одно среднее число.
• Вычислять новое среднее через старые средние — нужно работать с суммами.
• Во взвешенном среднем усреднять только различные значения, не учитывая частоты.
• Забывать делить на n или возводить в квадрат в формуле дисперсии.
• Делать выводы только по среднему, когда в ряду есть резко выделяющееся значение, — сравните его с медианой.