Математическое моделирование

Математическое моделирование — перевод жизненной ситуации на язык уравнений, функций или неравенств и поиск ответа с их помощью. Большинство текстовых задач экзамена именно такие: выбор тарифа, движение, максимизация площади, банковские проценты, минимизация затрат. Главный навык — правильно «перевести» условие.

§1. Этапы построения модели

1. Выбор неизвестной. Определяем, что спрашивают, обозначаем это (или удобную связанную величину) через x и записываем единицы измерения.
2. Запись связей. Каждую фразу условия превращаем в формулу: «на сколько больше» — разность, «во сколько раз» — отношение, «процент» — множитель.
3. Математическое решение. Уравнение, система, экстремум функции и т. д.
4. Интерпретация и проверка. Подходит ли ответ условию: положителен ли, целый ли, лежит ли в допустимом промежутке, верны ли единицы?

Четвёртый этап часто забывают, хотя именно на нём отбрасывают лишний корень (например, отрицательную длину).

§2. Линейные модели

Постоянная скорость, постоянная цена, фиксированная плата + цена за единицу — всё это вида y = kx + b.

Пример

Тариф «А»: абонентская плата 30 000 сумов в месяц и 100 сумов за минуту. Тариф «Б»: без абонентской платы, 200 сумов за минуту. Когда выгоднее «А»?

1. Число минут x. Расходы: A(x) = 30000 + 100x, B(x) = 200x.
2. Равенство: 30000 + 100x = 200x → x = 300.
3. При x > 300 имеем A(x) < B(x). Ответ: при разговорах более 300 минут в месяц выгоднее «А».

Пример

Из городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 70 и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

1. Скорость сближения: 70 + 80 = 150 км/ч.
2. t = 300/150 = 2 ч.

§3. Квадратичные модели

Площадь (произведение двух размеров), высота брошенного вверх тела, выручка = цена × количество дают квадратичную функцию. Наибольшее или наименьшее значение — в вершине параболы: x₀ = −b/(2a).

Пример

Тело брошено вверх, высота h(t) = 20t − 5t² (м). Какова наибольшая высота и когда тело упадёт на землю?

1. Вершина: t₀ = −20/(2·(−5)) = 2 с, h(2) = 40 − 20 = 20 м.
2. Падение: 20t − 5t² = 0 → t = 0 или t = 4. Ответ: через 4 с.

Пример

Прямоугольный участок у реки огораживают с трёх сторон сеткой длиной 60 м (сторона вдоль реки не огораживается). Какова наибольшая площадь?

1. Стороны, перпендикулярные реке, — x, параллельная — 60 − 2x.
2. S(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x, 0 < x < 30.
3. x₀ = 15, S = 15·30 = 450 м².

§4. Показательные модели

Если за каждый период величина меняется в одно и то же число раз (на один и тот же процент):

Пример

В банк положили 1 000 000 сумов под 20% годовых (сложные проценты). Сколько будет через 2 года?

1. q = 1,2.
2. 1 000 000·1,2² = 1 440 000 сумов.

Пример

Период полураспада вещества 5 суток. Сколько останется от 80 г через 15 суток?

1. 15/5 = 3 периода.
2. 80·(1/2)³ = 10 г.

§5. Оптимизация с помощью производной

Если функция не квадратичная, экстремум ищут через производную: строим модель, решаем f′(x) = 0 и сравниваем критическую точку с концами промежутка.

Пример

Ширина реки 1 км. Из точки A на одном берегу нужно провести кабель к точке B на другом берегу, находящейся в 5 км вниз по течению от точки напротив A. 1 км по дну стоит 7500$, по берегу — 6000$. Какова наименьшая стоимость?

1. Пусть кабель выходит на берег в x км от точки напротив A. Стоимость: f(x) = 7500√(1 + x²) + 6000(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5.
2. f′(x) = 7500x/√(1 + x²) − 6000 = 0 → x/√(1 + x²) = 0,8.
3. x² = 0,64(1 + x²) → 0,36x² = 0,64 → x = 4/3.
4. По дну √(1 + 16/9) = 5/3 км → 12500$; по берегу 11/3 км → 22000$. Итого 34500$.
5. Концы: f(0) = 7500 + 30000 = 37500, f(5) = 7500√26 ≈ 38243. Значит, минимум 34500$.

§6. Модели движения и совместной работы

Большая часть текстовых задач опирается на одно соотношение: «величина = скорость × время». В задачах на движение это путь, скорость и время; в задачах на работу — объём работы, производительность и время.

Порядок построения модели тот же, что в §1: обозначаем неизвестное, для каждой части записываем выражение для времени или работы, а общее количество из условия превращаем в уравнение. Часто получается дробное уравнение, которое после умножения на знаменатели становится квадратным.
Один из двух корней обычно приходится отбросить: скорость должна быть положительной, собственная скорость лодки — больше скорости течения (иначе она не поплывёт против течения), время не может быть отрицательным. Эта проверка — последний и обязательный этап моделирования.
Идея производительности применима не только к работникам, но и к трубам, насосам, принтерам — к любому процессу, идущему с постоянной скоростью.

Пример

Лодка прошла 24 км по течению реки и 24 км обратно, затратив всего 5 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

1. Скорость лодки v км/ч (v > 2); по течению v + 2, против — v − 2.
2. Модель: 24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5.
3. Умножаем на (v² − 4): 24(v − 2) + 24(v + 2) = 5(v² − 4) → 5v² − 48v − 20 = 0.
4. D = 48² + 4·5·20 = 2704 = 52²; v = (48 + 52)/10 = 10 или v = (48 − 52)/10 = −0,4.
5. Условию v > 2 подходит v = 10 км/ч. Проверка: 24/12 + 24/8 = 2 + 3 = 5.

Проверьте себя

1. Такси: посадка 4000 сумов и 1500 сумов за км. Заплатили 19000 сумов. Сколько км проехали?

2. Какова наибольшая высота, если h(t) = 30t − 5t²?

3. Число бактерий удваивается каждый час. Сначала их 500. Сколько будет через 5 часов?

4. Какой из прямоугольников площади 64 имеет наименьший периметр?

5. Из жести 12 × 12 см по углам вырезают квадраты со стороной x и делают открытую коробку. Наибольший объём?

6. Цену повысили на 10%, затем снизили на 10%. Как изменилась цена?

7. Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 12 часов. За сколько часов они наполнят его вместе?

8. Автомобиль проезжает расстояние от A до B за 2,5 часа со скоростью 60 км/ч. За сколько часов он проедет его со скоростью 75 км/ч?

Типичные ошибки

• Не проверять, соответствует ли ответ условию (отрицательная длина, дробное число людей).
• Смешивать единицы: минуты и часы, см и м.
• Складывать последовательные процентные изменения (+10% − 10% ≠ 0).
• Не указывать допустимый промежуток переменной в квадратичной модели.
• При оптимизации производной не проверять концы промежутка.
• В задачах на совместную работу складывать или усреднять время (4 + 12): складываются производительности.