Квадратичная функция и парабола

График квадратичной функции — парабола. Это главный инструмент при решении квадратных неравенств, поиске наибольшего и наименьшего значений и в прикладных задачах на оптимизацию. Умение быстро находить вершину, направление ветвей и точки пересечения с осями экономит на экзамене много времени.

§1. Определение и роль коэффициентов

Каждый коэффициент что-то сообщает о графике:

• `a` — направление и «ширина». a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз. Чем больше |a|, тем парабола «уже».
• `c` — пересечение с `Oy`: при x = 0 имеем y = c, точка (0; c).
• `b` — положение вершины. Если знаки a и b совпадают, вершина левее Oy (x₀ < 0), если различны — правее; при b = 0 вершина лежит на Oy.

У простейшей параболы y = x² вершина в (0; 0), она симметрична относительно Oy.

§2. Вершина параболы и полный квадрат

Выделим полный квадрат:

Значит, любая парабола — это y = ax², сдвинутая на x₀ по горизонтали и на y₀ по вертикали. Отсюда:

• Ось симметрии: x = x₀.
• При a > 0: убывает на (−∞; x₀], возрастает на [x₀; +∞), наименьшее значение y₀, E = [y₀; +∞).
• При a < 0: наоборот, наибольшее значение y₀, E = (−∞; y₀].

Симметрия полезна: если f(1) = f(5), то ось x = 3 — абсцисса вершины посередине между точками.

Пример

Исследуйте функцию y = 2x² − 8x + 5.

1. x₀ = 8/4 = 2, y₀ = 2·4 − 16 + 5 = −3. Вершина (2; −3).
2. Вид: y = 2(x − 2)² − 3.
3. a = 2 > 0 → ветви вверх, E = [−3; +∞).
4. Убывает на (−∞; 2], возрастает на [2; +∞); пересекает Oy в (0; 5).

§3. Нули и знак: квадратные неравенства

Пересечение с Ox — корни ax² + bx + c = 0. Дискриминант определяет положение параболы:

• D > 0 — пересекает Ox в двух точках;
• D = 0 — касается Ox вершиной;
• D < 0 — общих точек с Ox нет.

Алгоритм решения квадратного неравенства:

1. Находим корни.
2. Определяем направление ветвей (знак a).
3. При a > 0 функция отрицательна между корнями и положительна вне их.

Пример

При каких m неравенство x² + 2x + m > 0 выполняется при всех x?

1. a = 1 > 0, значит парабола должна целиком лежать выше Ox: D < 0.
2. D = 4 − 4m < 0 → m > 1.
3. Ответ: m ∈ (1; +∞).

§4. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

На отрезке квадратичная функция достигает экстремальных значений либо в вершине, либо на концах отрезка. Поэтому:

1. Проверяем, принадлежит ли x₀ отрезку.
2. Вычисляем f(x₀) (если принадлежит) и значения на концах.
3. Выбираем наибольшее и наименьшее.

Пример

Найдите наибольшее и наименьшее значения y = x² − 4x + 1 на [0; 3].

1. x₀ = 2 ∈ [0; 3], f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
2. f(0) = 1, f(3) = 9 − 12 + 1 = −2.
3. min = −3, max = 1.

Пример (прикладной)

Какова наибольшая площадь прямоугольника с периметром 20 м?

1. Стороны x и 10 − x: S(x) = x(10 − x) = −x² + 10x.
2. a < 0, вершина x₀ = 5: S(5) = 25.
3. Ответ: квадрат, 25 м².

§5. Восстановление параболы по условиям

Если даны вершина, корни или точки, коэффициенты находят из уравнений.

Пример

Вершина параболы f(x) = ax² + bx + 6 — точка B(1/2; 25/4). Найдите отношение корней x₂/x₁ (x₁ < x₂).

1. −b/(2a) = 1/2 → b = −a.
2. f(1/2) = a/4 − a/2 + 6 = 6 − a/4 = 25/4 → a = −1, b = 1.
3. −x² + x + 6 = 0 → x₁ = −2, x₂ = 3.
4. x₂/x₁ = −1,5.

§6. Теорема Виета и нули параболы

Если парабола y = ax² + bx + c пересекает Ox в точках x₁ и x₂ (D ≥ 0), то эти числа — корни уравнения ax² + bx + c = 0, и они просто связаны с коэффициентами:

Эти формулы многое говорят о корнях, не находя их:

• Ось симметрии параболы проходит посередине между корнями: x₀ = (x₁ + x₂)/2 = −b/(2a) — ещё одно обоснование формулы вершины из §2.
• Если x₁·x₂ < 0 (то есть c/a < 0), корни разных знаков; при этом D > 0 выполняется автоматически.
• Чтобы оба корня были положительны: D ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁·x₂ > 0.
• Симметричные выражения от корней записываются через сумму и произведение: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂, 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂).

Применяя теорему Виета, обязательно сначала проверьте D ≥ 0: иначе действительных корней нет, и выводы о сумме и произведении теряют смысл. Для приведённого уравнения (a = 1) формулы ещё проще: x₁ + x₂ = −b, x₁x₂ = c.

Пример

Парабола y = x² − 6x + c пересекает Ox в точках x₁ и x₂, причём x₁² + x₂² = 20. Найдите c и точки пересечения.

1. Виет: x₁ + x₂ = 6, x₁x₂ = c.
2. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 36 − 2c = 20 → c = 8.
3. Проверка: D = 36 − 32 = 4 > 0 — две точки существуют.
4. x² − 6x + 8 = 0 → x₁ = 2, x₂ = 4; 2² + 4² = 20 — верно.
5. Ответ: c = 8, точки (2; 0) и (4; 0).

Проверьте себя

1. Найдите вершину параболы y = −x² + 6x − 5.

2. Найдите множество значений y = x² + 4x + 7.

3. В каких точках график y = x² − 2x − 8 пересекает Ox?

4. Решите x² − 5x + 4 ≤ 0.

5. Найдите наибольшее значение y = −2x² + 8x − 3.

6. При каких k график y = x² + kx + 4 касается Ox?

7. Найдите сумму и произведение корней x² + 5x − 6 = 0.

8. Один из корней x² − 4x + c = 0 равен 1. Найдите второй корень и c.

Типичные ошибки

• Терять знак в формуле вершины: x₀ = −b/(2a), а не b/(2a).
• Определять направление ветвей по b или c (его задаёт только a).
• Искать наибольшее значение на отрезке только в вершине — концы отрезка проверять обязательно.
• Брать f(x₀) в ответ, даже если вершина не принадлежит отрезку.
• При a > 0 брать решение неравенства < 0 вне корней (верно — между корнями).
• Применять теорему Виета к уравнению с D < 0 или терять знак: x₁ + x₂ = b.