Квадратные уравнения и теорема Виета

Квадратное уравнение — «опора» экзамена: оно встречается и как самостоятельный вопрос, и внутри уравнений высших степеней, дробных, иррациональных, показательных, тригонометрических — после замены. Поэтому дискриминант и теорема Виета должны работать автоматически. В этом уроке разберём, откуда берётся формула корней, как определить число корней, как получить сведения о корнях, не решая уравнения, и как решать задачи с параметром.

§1. Определение и неполные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. a — старший коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Если a = 1, уравнение называется приведённым: x² + px + q = 0. При a = 0 уравнение становится линейным — это важно в задачах с параметром.
Если b или c равно нулю, уравнение называется неполным и решается без дискриминанта:

• c = 0: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 или x = −b/a.
• b = 0: ax² + c = 0 → x² = −c/a; при −c/a > 0 x = ±√(−c/a), иначе действительных корней нет.
• b = c = 0: ax² = 0 → x = 0.

Например, 3x² − 12 = 0 → x² = 4 → x = ±2; 5x² + 2x = 0 → x = 0 или x = −2/5; x² + 9 = 0 — действительных корней нет.
Частая ошибка: разделить x² = 4x на x и получить x = 4. При этом теряется корень x = 0. Правильно — x(x − 4) = 0.

§2. Дискриминант

Формула получается выделением полного квадрата. Умножим ax² + bx + c = 0 на 4a: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0, затем прибавим и вычтем b²: (2ax + b)² = b² − 4ac. Правая часть называется дискриминантом:

• D > 0 — два различных действительных корня;
• D = 0 — один (кратный) корень x = −b/(2a);
• D < 0 — действительных корней нет, так как квадрат не может быть отрицательным.

Если второй коэффициент чётный, вычисления проще:

Например, x² − 6x + 5 = 0: k = −3, D/4 = 9 − 5 = 4, x = 3 ± 2 → 1; 5.
Ещё один полезный признак: если a + b + c = 0, то корни 1 и c/a; если a − b + c = 0, то корни −1 и −c/a.

Пример

Решите 2x² − 3x − 2 = 0.

1. a = 2, b = −3, c = −2.
2. D = 9 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25, √D = 5.
3. x = (3 ± 5)/4.
4. Ответ: x₁ = 2, x₂ = −1/2.

§3. Теорема Виета

Если сложить и перемножить формулы корней, √D сокращается:

Для приведённого уравнения: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
Обратная теорема: числа с суммой s и произведением q — корни уравнения x² − sx + q = 0. Это удобно для устного решения: x² − 5x + 6 = 0 → произведение 6, сумма 5 → 2 и 3.
Не находя корней, можно вычислять их симметрические выражения:

Знаки корней: c/a < 0 — корни разных знаков; c/a > 0 и −b/a > 0 — оба положительны; c/a > 0 и −b/a < 0 — оба отрицательны (при условии D ≥ 0).
Перед применением теоремы Виета нужно проверить, что D ≥ 0, иначе действительных корней нет.

Пример (из официального образца)

Для корней 2x² − 5x − 3 = 0 найдите 1/x₁ + 1/x₂.

1. D = 25 + 24 = 49 > 0; x₁ + x₂ = 5/2, x₁x₂ = −3/2.
2. 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (5/2) : (−3/2) = −5/3.

§4. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен с корнями x₁, x₂ записывается так:

Это нужно при сокращении дробей и решении неравенств. Например, корни 2x² + 5x − 3 равны 1/2 и −3, значит, 2x² + 5x − 3 = 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
Геометрический смысл: парабола y = ax² + bx + c пересекает ось Ox в корнях. D > 0 — в двух точках, D = 0 — вершина касается оси, D < 0 — не пересекает. Абсцисса вершины x₀ = −b/(2a) равна среднему арифметическому корней.

§5. Уравнения, сводящиеся к квадратным

• Биквадратное ax⁴ + bx² + c = 0: замена t = x² ≥ 0.
• Повторяющееся выражение: t = (x − 1)², t = x² + x и так далее.
• Дробное уравнение: приводим к общему знаменателю и отбрасываем корни, обращающие знаменатель в нуль.

Пример (из официального образца)

(x − 1)⁴ + 2x = x² + 73. Сколько действительных корней и чему равно их произведение?

1. x² − 2x = (x − 1)² − 1. Пусть t = (x − 1)² ≥ 0: t² − (t − 1) = 73.
2. t² − t − 72 = 0 → t = 9 или t = −8 (не подходит, t ≥ 0).
3. (x − 1)² = 9 → x = 4 или x = −2.
4. 2 корня, произведение −8.

§6. Задачи с параметром

Число корней определяется знаком дискриминанта:

• Один корень: D = 0 (и a ≠ 0; если a зависит от параметра, отдельно проверьте случай a = 0 — уравнение становится линейным и может иметь один корень).
• Нет корней: D < 0; два корня: D > 0.
• Корни разных знаков: c/a < 0 (тогда D > 0 выполняется автоматически).

Пример

При каких k уравнение x² + kx + 9 = 0 имеет один корень?

1. Старший коэффициент 1 ≠ 0, поэтому условие D = 0.
2. D = k² − 36 = 0.
3. Ответ: k = ±6.

Проверьте себя

1. Решите x² − 5x + 6 = 0.

2. Решите x² + 6x + 9 = 0.

3. Для x² − 4x − 1 = 0 найдите x₁² + x₂².

4. Решите x⁴ − 5x² + 4 = 0.

5. Запишите приведённое квадратное уравнение с корнями −2 и 5.

6. При каких a уравнение ax² − 4x + 1 = 0 имеет один корень?

7. Модуль разности корней x² − 7x + 10 = 0.

8. Решите 3x² − 7x + 2 = 0.

Типичные ошибки

• В теореме Виета писать x₁ + x₂ = b/a, забывая знак (верно −b/a).
• При D < 0 всё равно записывать «сумму действительных корней» по Виету.
• Не отбрасывать корень t < 0 в биквадратном уравнении.
• Игнорировать случай a = 0, когда старший коэффициент — параметр.
• Из x² = 4 записывать только x = 2 (нужно x = ±2).
• Делить x² = 4x на x и терять корень x = 0.