Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения — это «таблица умножения» алгебры. Они дают готовый результат умножения двучленов. Умение быстро узнавать их в обе стороны (раскрытие скобок и разложение на множители) в разы ускоряет упрощение выражений, решение уравнений, сокращение дробей и устный счёт. В этом уроке объясняется, откуда берётся каждая формула, как её применять и где чаще всего ошибаются.

§1. Формулы второй степени

Три основные формулы:

Почему это верно? Просто перемножим скобки: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Два одинаковых слагаемых ab дают «средний член» 2ab. Геометрический смысл: квадрат со стороной a + b делится на два квадрата со сторонами a и b и два прямоугольника a × b.
В разности квадратов средние члены взаимно уничтожаются: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b².
Самая частая ошибка: (a + b)² ≠ a² + b² — забывают средний член. Проверить легко: при a = b = 1 получаем (1 + 1)² = 4, но 1² + 1² = 2.
Вместо a и b в формулах может стоять любое выражение: (3x − 2y)² = 9x² − 12xy + 4y². Здесь a = 3x, b = 2y, поэтому a² = 9x², .

Пример

Упростите (3x − 2)² − (3x + 2)(3x − 2).

1. Первое слагаемое: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.
2. Второе — разность квадратов: (3x + 2)(3x − 2) = 9x² − 4.
3. Вычитаем: 9x² − 12x + 4 − 9x² + 4 = 8 − 12x.

§2. Формулы третьей степени

Формула куба следует из (a + b)³ = (a + b)²(a + b). Коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка треугольника Паскаля. В (a − b)³ знаки чередуются: +, −, +, −.
Второй множитель в сумме и разности кубов a² ∓ ab + b² — неполный квадрат: перед ab нет двойки. Как запомнить знаки: в первой скобке знак тот же, что в исходном выражении, а перед ab — противоположный.
Проверка: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

Пример

Разложите на множители 27x³ + 1.

1. 27x³ = (3x)³, 1 = 1³, значит a = 3x, b = 1.
2. Сумма кубов: (a + b)(a² − ab + b²).
3. Ответ: (3x + 1)(9x² − 3x + 1).

§3. Применение в устном счёте

Формулы облегчают вычисления с большими числами. Главная идея — записать число как «круглое» плюс небольшая добавка:

• 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
• 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
• 999² = (1000 − 1)² = 1 000 000 − 2000 + 1 = 998 001.
• 98·102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996.
• 67² − 33² = (67 − 33)(67 + 33) = 34·100 = 3 400.
• 41² − 39² = 2 · 80 = 160.

Правило: если «среднее» между двумя числами круглое — используйте разность квадратов; если число близко к круглому — формулу квадрата.

§4. Разложение на множители (обратное направление)

На экзамене формулу часто нужно прочитать «наоборот»: от готового многочлена вернуться к скобкам.

• Если дан трёхчлен и два его члена — полные квадраты, проверьте признак полного квадрата: в 4x² − 12x + 9 имеем 4x² = (2x)², 9 = 3², 2 · 2x · 3 = 12x — значит (2x − 3)².
• Разность двух квадратов раскладывается всегда: x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
• Сумма квадратов x² + 4 на действительные множители не раскладывается.
• Иногда сначала нужна группировка: x² − y² + 2y − 1 = x² − (y − 1)² = (x − y + 1)(x + y − 1).

Пример

Сократите дробь (x² − 9)/(x² − 6x + 9).

1. Числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Знаменатель: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
3. Сокращаем на (x − 3): (x + 3)/(x − 3), при x ≠ 3.

§5. Симметрические выражения

Если известны a + b и ab, многие выражения можно найти, не вычисляя сами a и b:

Эти формулы прямо следуют из §1 и §2: например, вычтя 2ab из (a + b)² = a² + 2ab + b², получаем a² + b². Они постоянно используются вместе с теоремой Виета: для корней квадратного уравнения x₁ + x₂ и x₁x₂ известны сразу.
В частности, если x + 1/x = t, то x² + 1/x² = t² − 2, так как x · 1/x = 1.

Пример

Найдите a³ + b³, если a + b = 3, ab = 2.

1. a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).
2. = 3³ − 3 · 2 · 3.
3. = 27 − 18 = 9.

§6. В иррациональных выражениях

Чтобы увидеть формулу, часто нужно сгруппировать слагаемые или увидеть в числе квадрат корня: 7 = (√7)².
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножают на сопряжённое выражение, так как (√a − √b)(√a + √b) = a − b — корни исчезают.

Пример

Упростите (√7 + 1 − √3)(√7 + √3 − 1).

1. Группируем: (√7 + (1 − √3))(√7 − (1 − √3)).
2. Разность квадратов: 7 − (1 − √3)².
3. (1 − √3)² = 1 − 2√3 + 3 = 4 − 2√3.
4. 7 − 4 + 2√3 = 3 + 2√3.

Пример

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе 2/(√5 − √3).

1. Умножаем числитель и знаменатель на √5 + √3.
2. Знаменатель: (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.
3. 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3.

Проверьте себя

1. Вычислите устно 103².

2. Вычислите 1001 · 999.

3. a + b = 5, ab = 6. Найдите a² + b².

4. Упростите (x − 3)² − (x + 3)².

5. Найдите x² + 1/x², если x + 1/x = 3.

6. Раскройте (2x − 1)³.

7. Разложите на множители x³ − 8.

8. Упростите (x + 3)² − (x − 1)(x + 1).

Типичные ошибки

• Писать (a + b)² = a² + b² (теряется средний член 2ab).
• Добавлять двойку в неполный квадрат суммы кубов: не a² − 2ab + b², а a² − ab + b².
• Писать b² со знаком минус в (a − b)² (всегда +b²).
• Считать (2x)² равным 2x² (правильно 4x²).
• Пытаться разложить на множители сумму квадратов a² + b².
• Не менять знаки при раскрытии скобки после минуса: −(9x² − 4) = −9x² + 4.