Сначала изучите: Степени и их свойства
Многочлены — «сырьё» алгебры: из них строятся уравнения, функции и выражения. Квадратный трёхчлен, кубическое уравнение, вычисление производной — везде приходится работать с многочленами. В этом уроке, начиная с понятий одночлена и многочлена, разберём действия, деление многочлена на многочлен, теорему Безу, схему Горнера и поиск корней — это ключ к уравнениям высших степеней.
Одночлен — произведение числа и степеней переменных: −3x²y, 5a, 7. Число в нём называется коэффициентом (−3). Степень одночлена — сумма показателей переменных: степень −3x²y равна 2 + 1 = 3.
Подобные одночлены отличаются только коэффициентом: 4x²y и −x²y. При сложении их коэффициенты складываются: 4x²y − x²y = 3x²y.
Многочлен — сумма одночленов. Стандартный вид: подобные слагаемые приведены, степени записаны по убыванию: P(x) = 2x³ − x + 5.
Подстановка чисел в многочлен даёт очень полезные результаты:
Сумма коэффициентов равна P(1)
P(−1) равно сумме коэффициентов при чётных степенях минус сумма коэффициентов при нечётных
Например, сумму коэффициентов (x² − 3x + 1)⁵ найдём, не раскрывая скобок: P(1) = (1 − 3 + 1)⁵ = −1.
Сложение и вычитание: раскрываем скобки и приводим подобные. Если перед скобкой минус, меняются знаки всех членов в скобке:
(x² − x + 3) − (2x² − 4x − 1) = x² − x + 3 − 2x² + 4x + 1 = −x² + 3x + 4.
Умножение: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго, затем приводим подобные:
(2x − 3)(x + 4) = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12.
При умножении перемножаются старшие члены, поэтому:
deg(P·Q) = deg P + deg Q
deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q) (старшие члены могут сократиться)
Для быстрого умножения служат формулы сокращённого умножения:
(a ± b)² = a² ± 2ab + b², a² − b² = (a − b)(a + b)
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³, a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
Например, (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
Найдите степень, старший коэффициент и свободный член многочлена (x² + 1)³(x − 2)².
Многочлены, как и числа, можно делить с остатком. Для любых P(x) и ненулевого Q(x) существуют единственные частное S(x) и остаток R(x):
P(x) = Q(x)·S(x) + R(x), deg R < deg Q
Деление выполняют «уголком»: старший член делимого делим на старший член делителя, результат умножаем на делитель и вычитаем, повторяем, пока степень остатка не станет меньше степени делителя. Если R(x) = 0, то P делится на `Q` нацело.
Разделите x³ − 2x² + 4 на x − 2.
При делении на x − a остаток — число (степень 0). Подставив x = a в равенство P(x) = (x − a)S(x) + R, получим, что первое слагаемое обнуляется и остаётся P(a) = R. Это теорема Безу:
Остаток от деления P(x) на x − a равен P(a)
Следствие: P(a) = 0 ⇔ P(x) делится на (x − a) нацело, то есть a — корень
Многочлен x³ + ax − 6 делится на x − 2 нацело. Найдите a.
Схема Горнера — быстрый способ деления на x − a. Коэффициенты выписываются подряд (для пропущенных степеней — 0). Первый коэффициент сносится вниз; дальше каждый раз последний результат умножается на a и прибавляется к следующему коэффициенту. Последнее число — остаток, предыдущие — коэффициенты частного.
Разделите 2x³ − 3x² + 5 на x − 2 по схеме Горнера.
Целые корни многочлена с целыми коэффициентами находятся среди делителей свободного члена. Причина: если a — корень, то в равенстве P(a) = 0 все члены, кроме свободного, делятся на a, значит, и свободный член делится на a.
Алгоритм:
Полезное наблюдение: если сумма коэффициентов равна 0, то x = 1 — корень; если суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях равны, то x = −1 — корень.
Решите x³ − 6x² + 11x − 6 = 0.