Школьная программа· 30 мин· Вопросов: 2
Сначала изучите: Степени и их свойства
Корень — действие, обратное возведению в степень: раз 3² = 9, то √9 = 3. Корни постоянно встречаются в геометрии (теорема Пифагора, диагональ, расстояние), в физике (скорость, период колебаний) и при решении уравнений. На экзамене регулярно бывают задания на извлечение корня, вынесение множителя из-под корня и внесение под корень, освобождение от иррациональности в знаменателе, сравнение корней и «сложный корень» (корень под корнем). В этом уроке разберём причину каждого правила и самые частые ловушки.
√a (a ≥ 0) — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Это арифметический корень: √25 = 5, а не −5! У уравнения x² = 25 два корня (x = ±5), но знак √25 обозначает только положительный.
√a ≥ 0, (√a)² = a, √(a²) = |a|
√(a²) = |a| — самое часто забываемое свойство. Причина: даже при отрицательном a число a² положительно, а корень возвращает неотрицательное число. Например, √((−3)²) = √9 = 3, √((1 − √2)²) = |1 − √2| = √2 − 1, так как 1 − √2 < 0.
Квадратного корня из отрицательного числа в действительных числах нет: квадрат действительного числа не бывает отрицательным.
ⁿ√a — число, n-я степень которого равна a.
ⁿ√(aⁿ) = |a| (чётное n), ⁿ√(aⁿ) = a (нечётное n)
Переход к степени: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) (a > 0). Это позволяет считать корни по свойствам степеней: √a·∛a = a^(1/2 + 1/3) = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
√(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0)
ᵏ√(ⁿ√a) = ᵏⁿ√a, ⁿ√(aᵐ) = ⁿᵏ√(aᵐᵏ)
Внимание: √(a + b) ≠ √a + √b. Проверка: √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
Упростите √50 − √18 + √8.
Если в знаменателе корень, дробь принято приводить к виду без корня в знаменателе — так дроби легче сравнивать и складывать.
Сопряжённое к √a − √b — это √a + √b, их произведение a − b
Упростите (√5 + √3)/(√5 − √3).
√(a ± 2√b) = √x ± √y, где x + y = a, xy = b, x ≥ y
Идея: представить подкоренное выражение полным квадратом, ведь (√x ± √y)² = x + y ± 2√(xy). Сначала приводим коэффициент перед корнем к виду 2: 7 − 4√3 = 7 − 2√12; x + y = 7, xy = 12 → 4 и 3: √(7 − 4√3) = √4 − √3 = 2 − √3.
Упростите √(11 + 6√2).
Вычислите (√(4 − √7) + √(4 + √7))².
Корни одной степени сравниваем по подкоренным числам: √7 < √8. Корни разных степеней приводим к общей степени или возводим оба в степень, равную НОК показателей.
Если a, b ≥ 0, то a < b ⇔ aⁿ < bⁿ
Сравните √3 и ∛5.
В буквенных выражениях корень удобно считать «новой переменной»: a = (√a)² (a ≥ 0). Тогда работают формулы сокращённого умножения:
a − b = (√a − √b)(√a + √b) (a, b ≥ 0)
a ± 2√(ab) + b = (√a ± √b)²
Это позволяет сокращать дроби, но требует помнить область определения (a ≥ 0, знаменатель ≠ 0).
Упростите (a − 4)/(√a + 2) (a ≥ 0).
Вычислите (√3 + 1)² − √12.