Сначала изучите: Целые числа и модуль
Степень — краткая запись многократного умножения: вместо 2·2·2·2·2 пишем 2⁵. Свойства степеней лежат в основе корней, показательных и логарифмических уравнений, стандартного вида числа и упрощения алгебраических выражений. В физике очень большие и очень малые величины (3·10⁸ м/с, 1,6·10⁻¹⁹ Кл) тоже записываются степенями. В этом уроке объясним, почему определения выбраны именно так и когда свойства применять нельзя.
aⁿ = a·a·…·a (n множителей), a¹ = a
a — основание, n — показатель, aⁿ — степень. Вторую степень называют «квадратом», третью — «кубом»: площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба — a³.
Правила знаков следуют из правила умножения:
aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Каждое свойство прямо следует из определения. Например, a³·a² = (a·a·a)·(a·a) = a⁵ — считаем множители: 3 + 2 = 5. (a³)² = a³·a³ = a⁶ — здесь показатели перемножаются.
Свойства работают только при одинаковом основании (умножение и деление) или одинаковом показателе. Для суммы свойства нет: 2³ + 2⁴ нельзя превратить в 2⁷. Вместо этого выносим общий множитель: 2³ + 2⁴ = 2³(1 + 2) = 24.
Очень помогает приведение к одному основанию: 4 = 2², 8 = 2³, 27 = 3³, 0,25 = 2⁻².
Вычислите (2²⁰ + 2¹⁸)/(5·2¹⁷).
a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ, (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0)
Эти определения не «придуманы» — они вынужденно выбраны так, чтобы свойства сохранялись. aⁿ : aⁿ = 1, а по свойству aⁿ⁻ⁿ = a⁰, значит a⁰ = 1. Аналогично a⁰ : aⁿ = a⁻ⁿ, то есть a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Для дробного показателя должно быть (a^(1/n))ⁿ = a¹ = a, значит a^(1/n) = ⁿ√a.
0⁰ и отрицательные степени нуля не определены (возникает деление на ноль).
Примеры: (0,5)⁻³ = 2³ = 8, 27^(2/3) = (∛27)² = 9, 16^(−3/4) = 1/(⁴√16)³ = 1/8.
Найдите значение (4n²/m)² · k/(m²n²) : k³/(mn)³ · mk²/n³ при n = −3, m = −2, k = 3.
Предварительное упрощение делает счёт лёгким и безошибочным: m и k вообще не понадобились.
Для сравнения приводим степени к одинаковому основанию или одинаковому показателю.
При одинаковом показателе (n > 0, основания положительны) больше та степень, у которой больше основание
При a > 1 степень растёт с показателем, при 0 < a < 1 — убывает
Например, 0,5³ < 0,5², так как 0,125 < 0,25: число меньше единицы при умножении на себя уменьшается.
Сравните 5⁴⁰ и 4⁵⁰.
Последняя цифра степени зависит только от последней цифры основания и повторяется периодически:
2: 2, 4, 8, 6; 3: 3, 9, 7, 1; 7: 7, 9, 3, 1; 8: 8, 4, 2, 6 (период 4)
4: 4, 6; 9: 9, 1 (период 2); 0, 1, 5, 6 — не меняются
Способ: делим показатель на длину периода; если остаток r, берём r-й член периода, если остаток 0 — последний.
Найдите последнюю цифру 3¹⁰⁰.
a·10ⁿ, 1 ≤ a < 10, n — целое
n — порядок числа. У больших чисел n положителен, у чисел меньше единицы — отрицателен: 0,000 52 = 5,2·10⁻⁴ (запятая сдвинулась на 4 знака вправо).
При умножении мантиссы перемножаются, порядки складываются, затем результат приводится к стандартному виду: (3·10⁵)·(4·10⁻²) = 12·10³ = 1,2·10⁴.
При делении мантиссы делятся, порядки вычитаются: (6·10⁸) : (2·10⁻³) = 3·10¹¹. Сравнивая два положительных числа в стандартном виде, сначала сравнивают порядки: больше число с большим порядком; при равных порядках сравнивают мантиссы. Например, 9,9·10⁴ < 1,1·10⁵, хотя 9,9 > 1,1.
В сложном выражении почти всегда работает такой порядок:
Способ работает и тогда, когда в показателе стоит буква: буквы сокращаются, и ответ получается числом. Именно этот навык понадобится позже для показательных уравнений вида 2ˣ = 32: приведя обе части к одному основанию, можно приравнять показатели (2ˣ = 2⁵ → x = 5).
Приведение к одному основанию — главный приём работы со степенями
Упростите 9ⁿ·27 : 3²ⁿ⁺¹.
Вычислите (8^(2/3) + 81^(1/4))·2⁻¹.