Сначала изучите: Натуральные числа и действия
Целые числа выражают отрицательные величины — долг, мороз, глубину ниже уровня моря, движение вниз. Работая с ними, нужно твёрдо знать правило знаков: большая часть вычислительных ошибок на экзамене связана именно со знаком минус. Модуль — это понятие «расстояния»: он снова и снова встречается в уравнениях и неравенствах, функциях, геометрии и координатах. В этом уроке разберём множество целых чисел, действия, чётность, деление с остатком и уравнения и неравенства с модулем.
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} — натуральные числа, противоположные им числа и ноль.
Множество целых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения: сумма, разность и произведение целых чисел — целое число. Деление же не всегда даёт целое — поэтому позже понадобятся рациональные числа.
При умножении и делении: (+)(+) = +, (−)(−) = +, (+)(−) = −
При сложении: знаки одинаковые — модули складываются; знаки разные — из большего модуля вычитается меньший, знак берётся у числа с большим модулем
Почему минус на минус даёт плюс? Чтобы сохранялся распределительный закон: (−1)·(1 + (−1)) = (−1)·0 = 0. Раскрывая скобки, получаем (−1)·1 + (−1)·(−1) = 0, то есть −1 + (−1)·(−1) = 0, значит (−1)·(−1) = 1.
Порядок действий: сначала скобки, затем степени, затем умножение и деление (слева направо), в конце сложение и вычитание.
Вычислите −3·(−4) − 12 : (−6) + (−1)²⁰²⁵.
Чётные числа имеют вид 2k, нечётные — 2k + 1 (k ∈ Z); ноль — чётное число, −3 — нечётное.
чётное ± чётное = чётное; нечётное ± нечётное = чётное; чётное ± нечётное = нечётное
если в произведении есть чётный множитель, произведение чётно
Деление целого числа на натуральное с остатком: a = bq + r, где 0 ≤ r < b. Остаток всегда неотрицателен, даже если a отрицательно. Например, −17 = 5·(−4) + 3: неполное частное −4, остаток 3 (а не −3!).
Последовательные целые числа: из n, n + 1 одно обязательно чётное; из n, n + 1, n + 2 одно обязательно делится на 3. Поэтому n(n + 1) всегда чётно.
Найдите сумму всех целых чисел от −10 до 12.
|a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0
Не читайте −a в определении как «отрицательное число»: при a < 0 число −a положительно. Например, |−5| = −(−5) = 5.
Геометрический смысл: |a| — расстояние на числовой оси от точки a до нуля; |a − b| — расстояние между точками a и b. Например, расстояние между −7 и 4 равно |4 − (−7)| = 11.
Свойства:
|a| ≥ 0, |−a| = |a|, |ab| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, |a|² = a², √(a²) = |a|
Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|
В неравенстве треугольника равенство достигается, когда a и b одного знака (или одно из них равно нулю).
|x| = a (a > 0): x = ±a; при a = 0 — x = 0; при a < 0 решений нет
Если внутри выражение, всё так же: |x − 3| = 5 → x − 3 = ±5 → x = 8 или x = −2. Геометрически: точки, удалённые от 3 на 5 единиц.
Если справа стоит выражение с x (|f(x)| = g(x)), нужно сначала записать условие g(x) ≥ 0 или проверить каждый корень.
Если модулей несколько — метод интервалов: точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль, разбивают ось на промежутки; на каждом промежутке модули раскрываются с нужным знаком, и найденный корень проверяется на принадлежность промежутку.
Решите |x − 1| + |x + 2| = 5.
Геометрическая проверка: сумма расстояний от x до 1 и до −2 равна 5; расстояние между ними 3, значит x вне отрезка, в 1 от его концов.
Решите |x − 4| = 2x − 1.
|x| < a: −a < x < a; |x| > a: x < −a или x > a
На языке расстояний: |x| < a — точки ближе a к нулю (один промежуток), |x| > a — точки дальше a (два луча).
Сколько целых решений у неравенства |x − 2| ≤ 3?