Сначала изучите: Обыкновенные и десятичные дроби
Проценты — самая употребительная математика в жизни: скидки, кредиты, вклады, налоги, рост зарплаты, результаты экзамена — всё измеряется в процентах. На экзамене задачи на проценты есть почти в каждом варианте и часто приходят с «ловушкой»: последовательные изменения, неверная база, сложные проценты. В этом уроке разберём, начиная со смысла процента, три основные задачи, последовательные изменения, сложные проценты и задачи на смеси — с объяснением причин. Тема тесно связана с отношениями и пропорциями, дробями и показательной функцией.
Процент — сотая часть числа: 1% = 1/100. Значит p% = p/100; 25% = 0,25 = 1/4, 150% = 1,5. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, сдвигаем запятую на два знака влево, обратно — вправо.
Все задачи на проценты сводятся к трём основным типам:
1) p% от числа: a·p/100
2) Число по его проценту: b : (p/100)
3) Процентное отношение двух чисел: b/a·100%
Эти три формулы — три формы одной пропорции: «a — 100%, b — p%». Находим ту величину, которая неизвестна.
Полезные соответствия: 10% = 1/10, 20% = 1/5, 25% = 1/4, 50% = 1/2, 12,5% = 1/8, 33⅓% = 1/3. Они сильно ускоряют устный счёт: 25% от 240 — это просто 240 : 4 = 60. Их стоит знать наизусть.
Ковёр размером 2,4 м на 4 м постелен в комнате 4 м × 6 м. Какой процент площади комнаты занимает ковёр?
Увеличение на p%: a·(1 + p/100); уменьшение на p%: a·(1 − p/100)
Почему умножение? Прибавим к a его p%: a + a·p/100 = a(1 + p/100). Число в скобках — коэффициент изменения: +15% → 1,15, −30% → 0,7.
Последовательные изменения перемножаются, а не складываются, потому что каждый следующий процент берётся от нового значения:
Процент изменения: (новое − старое)/старое·100%
Цена была 50 000 сумов, выросла на 20%, затем снизилась на 10%. Итоговая цена и общее изменение?
В цехе число рабочих выросло на 20%, а производительность каждого — на 25%. На сколько процентов вырос объём продукции?
Частая ловушка: «после скидки 20% цена 48 000 сумов. Какова исходная цена?» Многие прибавляют к 48 000 его 20% и получают 57 600 — это ошибка, ведь 20% брались от исходной цены, а не от новой.
Новое значение = исходное × коэффициент → исходное = новое : коэффициент
После скидки 20% товар стоит 48 000 сумов. Сколько он стоил раньше?
Процент всегда зависит от того, относительно какого числа он считается. В фразе «A больше B на ...» база — B (то, с чем сравнивают).
Если одно больше на p%, то другое меньше на p/(100 + p)·100%
Различайте процентный пункт и процент: если ставка выросла с 10% до 12%, это рост на 2 процентных пункта, но относительный рост на 20%.
Если каждый период начисляется p%, и следующий процент считается от новой суммы (банковский вклад, рост населения):
Сложные проценты: S = S₀·(1 + p/100)ⁿ
Простые проценты: S = S₀·(1 + n·p/100) — процент только от начальной суммы
При сложных процентах сумма растёт как геометрическая прогрессия, при простых — как арифметическая. Поэтому на длинном сроке сложные проценты дают гораздо больше.
1 000 000 сумов положили под 10% годовых (сложные проценты) на 2 года.
Концентрация раствора — отношение массы вещества к массе раствора:
ω = m(вещества)/m(раствора)·100%
Главная идея: найти величину, которая не меняется. При добавлении или испарении воды масса вещества не меняется, меняется только масса раствора. При смешивании растворов массы веществ складываются. При сушке фруктов уходит вода, а масса сухого вещества сохраняется.
К 200 г 15%-го раствора соли добавили 50 г воды. Новая концентрация?
Свежие фрукты содержат 80% воды, сушёные — 20%. Сколько килограммов свежих фруктов нужно для 10 кг сушёных?