Школьная программа· 30 мин· Вопросов: 22
Сначала изучите: Натуральные числа и действия
Дроби — место, где на экзамене теряют больше всего баллов: один неверный общий знаменатель портит всю задачу. Дробь выражает часть целого, записывает частное двух чисел и показывает отношения — поэтому она постоянно встречается в алгебре, геометрии, процентах и вероятности. В этом уроке научимся уверенно выполнять все действия — от обыкновенных дробей до периодических десятичных, — поймём причины правил и разберём текстовые задачи на дроби.
a/b — целое разделили на b равных частей и взяли a из них (b ≠ 0). b — знаменатель (на сколько частей разделили), a — числитель (сколько частей взяли). a < b — правильная дробь (меньше единицы), a ≥ b — неправильная.
Основное свойство: a/b = (a·k)/(b·k), k ≠ 0
Почему это верно? Если каждую часть разделить ещё на k кусочков, то и число частей, и число взятых частей увеличатся в k раз, а взятое количество не изменится.
Сложение: a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) — на практике удобнее приводить к НОК знаменателей
Умножение: a/b · c/d = ac/(bd); деление: a/b : c/d = a/b · d/c
Зачем общий знаменатель? Складывать можно только одинаковые «доли»: трети и половины сначала превращаем в шестые: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6, а не 2/5.
Деление равно умножению на обратную дробь, так как деление — действие, обратное умножению: (a/b · d/c)·(c/d) = a/b.
При умножении и делении смешанных чисел сначала переводим их в неправильные дроби. Перекрёстное сокращение до умножения облегчает счёт: 14/15 · 25/28 = (1·5)/(3·2) = 5/6.
Вычислите 2/3 + 5/6 − 3/4.
Десятичная дробь — другая запись дроби со знаменателем 10, 100, 1000, …: 0,37 = 37/100.
Полезные значения: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2, 1/8 = 0,125.
Повторяющаяся часть берётся в скобки: 0,333… = 0,(3), 0,1666… = 0,1(6).
Чистая периодическая: 0,(ab) = ab/99; например 0,(36) = 36/99 = 4/11
Смешанная периодическая: 0,a(b) = (ab − a)/90
Общее правило: (число из всех цифр после запятой − часть до периода) / (столько 9, сколько цифр в периоде, и столько 0, сколько цифр до периода). Например, 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6; 0,(9) = 9/9 = 1.
Вычислите 7,2(1) − 4,4(2) + 31/90.
Если в сложном выражении встречаются и обыкновенные, и десятичные дроби, приводим всё к одному виду: значения вроде 0,25 = 1/4, 0,(3) = 1/3 удобнее в обыкновенных дробях. Многоэтажную дробь упрощаем с нижнего этажа.
Вычислите 1/(1 + 1/(1 + 1/2)).
m/n от a — это a·m/n; целое по его части — b : (m/n)
Внимание: слово «остатка» означает, что дробь берётся от нового целого — от оставшейся части.
Прочитано 3/8 книги, это 150 страниц. Сколько страниц в книге?
Из 1200 сумов потратили 1/3, затем 1/4 остатка. Сколько денег осталось?
Иногда очень полезно записать дробь как разность двух дробей. Для дроби, знаменатель которой — произведение двух последовательных чисел:
1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)
Проверка: 1/n − 1/(n + 1) = (n + 1 − n)/(n(n + 1)) = 1/(n(n + 1)). Например, 1/6 = 1/(2·3) = 1/2 − 1/3.
В сумме таких дробей соседние слагаемые уничтожаются, и остаются только первая и последняя части — сумма «складывается, как телескоп». Этот приём сокращает длинные вычисления до одной строки и экономит время на экзамене.
Вычислите 1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(9·10).