Сначала изучите: Обыкновенные и десятичные дроби
Отношения и пропорции — «язык и грамматика» текстовых задач. Масштаб карты, рецепт блюда, рабочие и дни, деление денег между партнёрами, состав сплава — всё это опирается на эту тему. На экзамене она встречается и как отдельный вопрос, и внутри задач на проценты, геометрию (подобие) и физику. В этом уроке разберём упрощение отношений, основное свойство пропорции, прямую и обратную пропорциональность, деление числа в данном отношении, масштаб и задачи на смеси.
Отношение двух чисел — их частное: a : b = a/b. Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого или какую часть одно число составляет от другого. Например, если в классе 12 мальчиков и 18 девочек, отношение мальчиков к девочкам 12 : 18 = 2 : 3.
Отношение 2 : 3 означает также «2/5 и 3/5 целого»: всего 2 + 3 = 5 частей. Эта мысль — основа всех задач из §4.
Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d. a и d — крайние члены, b и c — средние.
Основное свойство: a·d = b·c (произведение крайних = произведению средних)
Свойство получается умножением обеих частей a/b = c/d на bd. Отсюда правило нахождения неизвестного члена: крайний член = произведение средних / известный крайний (x = (b·c)/d), средний член = произведение крайних / известный средний.
В пропорции можно менять местами средние или крайние члены: из a : b = c : d следует a : c = b : d и d : b = c : a. Полезна и «производная пропорция»: если a : b = c : d, то (a + b) : b = (c + d) : d.
Найдите x из x : 12 = 5 : 3.
Прямая: x₁/x₂ = y₁/y₂; обратная: x₁/x₂ = y₂/y₁
Перед решением всегда спрашивайте: «если одна величина растёт, другая растёт или уменьшается?». Если величины не связаны пропорционально (например, возраст и рост человека), пропорцию составлять нельзя.
6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней её выполнят 15 рабочих?
Чтобы разделить S в отношении a : b : c, сначала находим одну часть:
1 часть q = S/(a + b + c), части: a·q, b·q, c·q
В цепочках отношений (a : b и b : c) общий член b приводим к одному числу. Например, если a : b = 3 : 4, b : c = 6 : 5, приводим b к 12: 9 : 12 и 12 : 10, значит, a : b : c = 9 : 12 : 10.
В условиях «во сколько раз больше/меньше» удобно обозначать за неизвестное наименьшую или самую удобную величину.
Магазин за 3 дня продал 175 кг картофеля. Во второй день — в 1,5 раза больше, чем в третий, в первый — в 2,4 раза меньше, чем во второй. Сколько кг продано в первый день?
Масштаб 1 : n — 1 единица на карте соответствует n единицам на местности. Например, при 1 : 50 000 1 см = 50 000 см = 500 м.
Отношение площадей равно квадрату отношения линейных размеров: при масштабе 1 : n площади относятся как 1 : n², а объёмы — как 1 : n³. Например, на карте масштаба 1 : 10 000 1 см = 100 м, поэтому 1 см² = 10 000 м² = 1 гектар; участок площадью 3 см² на карте на местности занимает 3 гектара.
Если компоненты заданы отношением, сначала найдите «одну часть». Когда в смесь добавляют или из неё убирают какое-то вещество, решение упрощается, если следить за неизменным компонентом.
В сплаве меди и цинка массой 40 кг медь и цинк относятся как 3 : 2. Сколько цинка нужно добавить, чтобы меди и цинка стало поровну?