Рациональные и иррациональные числа

Действительные числа заполняют все точки числовой оси «без пробелов»: каждой точке соответствует одно число, каждому числу — одна точка. Исторически множество чисел расширялось поэтапно: натуральные числа нужны для счёта, целые — для вычитания, рациональные — для деления, а иррациональные — для извлечения корней и измерения длин. На экзамене часто встречаются вопросы о распределении чисел по множествам, переводе периодической дроби в обыкновенную, сравнении чисел с корнями и определении рациональности.

§1. Цепочка числовых множеств

• Натуральные числа N = {1, 2, 3, …} — для счёта.
• Целые числа Z — натуральные, противоположные им и ноль.
• Рациональные числа Q — числа вида p/q (p ∈ Z, q ∈ N). Любое целое число тоже рационально: 5 = 5/1.
• Иррациональные числа — числа, которые нельзя записать в виде p/q: √2 = 1,4142…, π = 3,1415…, e = 2,718….
• Действительные числа R — рациональные и иррациональные вместе.

√n (n натуральное) рационален только если n — полный квадрат: √16 = 4, а √5 иррационален. Аналогично ∛n рационален, только если n — полный куб.

§2. Десятичная запись: конечная, периодическая и непериодическая

Почему рациональное число периодично? При делении p на q уголком остатки могут быть только 0, 1, …, q − 1. Не позже чем через q шагов остаток повторится, и цифры начнут повторяться: 1/7 = 0,(142857).
Несократимая дробь обращается в конечную десятичную, только если знаменатель не имеет простых множителей, кроме 2 и 5: 3/8 = 0,375, но 1/3 = 0,(3).
Перевод периодической дроби в обыкновенную:

Правило: в числителе — «число из цифр после запятой минус часть до периода», в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода.

Пример

Переведите 0,(27) и 0,2(3) в обыкновенные дроби.

1. 0,(27) = 27/99 = 3/11.
2. 0,2(3) = (23 − 2)/90 = 21/90.
3. Сокращаем: 21/90 = 7/30.

§3. Почему √2 иррационален

Пусть √2 = p/q — несократимая дробь. Тогда p² = 2q² — p² чётно, значит p чётно: p = 2k. Тогда 4k² = 2q², q² = 2k² — q тоже чётно. Оба чётны — дробь сократима, что противоречит предположению. Значит, √2 не рационален.
Это доказательство от противного: предполагаем обратное и приходим к противоречию. Так же доказывается иррациональность √3, √5 и корня из любого натурального числа, не являющегося полным квадратом.

§4. Тип результата действий

• Рациональное ± рациональное, рациональное × рациональное — рационально; деление на ненулевое число тоже даёт рациональное.
• Рациональное + иррациональное — всегда иррационально: 1 + √2. (Если бы 1 + √2 = r было рациональным, то и √2 = r − 1 было бы рациональным.)
• Ненулевое рациональное × иррациональное — иррационально: 3√2.
• Иррациональное ± иррациональное или × — может быть рациональным: √2 + (2 − √2) = 2, √2·√8 = 4.

Пример

Рационально ли число (√3 − 1)² + 2√3?

1. Раскрываем квадрат: (√3 − 1)² = 3 − 2√3 + 1 = 4 − 2√3.
2. 4 − 2√3 + 2√3 = 4.
3. Ответ: да, выражение равно 4 — рационально.

§5. Сравнение и оценка

Чтобы сравнить выражения с корнями, вносим множители под корень или возводим в квадрат (для положительных чисел порядок сохраняется):

Пример (из официального образца)

Расположите a = 6, b = 4√2, c = 2√10 в порядке возрастания.

1. Квадраты: a² = 36, b² = 16·2 = 32, c² = 4·10 = 40.
2. 32 < 36 < 40.
3. Значит, b < a < c.

Оценка: между какими целыми лежит √50? 49 < 50 < 64 → 7 < √50 < 8; 50 близко к 49, поэтому √50 ≈ 7,07.

§6. Числовая ось, промежутки и округление

−2 < x ≤ 5 → (−2; 5]. Бесконечность — не число, «достичь» её нельзя, поэтому перед ней всегда круглая скобка.
Стандартный вид: a·10ⁿ, 1 ≤ a < 10: 0,000 32 = 3,2·10⁻⁴, 45 000 = 4,5·10⁴.
Округление: если первая отбрасываемая цифра ≥ 5, предыдущая увеличивается на единицу: 3,1415 ≈ 3,14, 2,718 ≈ 2,72. В практических расчётах с иррациональными числами всегда используют их приближённые значения.

§7. Операции над промежутками и плотность

При решении систем и совокупностей неравенств нужны пересечение промежутков (∩, числа, принадлежащие обоим) и объединение (∪, числа, принадлежащие хотя бы одному). Надёжнее всего находить их на числовой оси: отмечаем каждый промежуток отдельной линией и читаем общую часть или весь охват.

Важное свойство действительных чисел — плотность: между любыми двумя различными числами бесконечно много рациональных и бесконечно много иррациональных чисел. Например, между a и b лежит их среднее арифметическое (a + b)/2.

Пример

Найдите пересечение и объединение промежутков A = [−2; 5) и B = (1; 7].

1. Отмечаем на оси: A — от −2 (входит) до 5 (не входит), B — от 1 (не входит) до 7 (входит).
2. Общая часть: от 1 до 5, оба конца не входят — A ∩ B = (1; 5).
3. Весь охват: от −2 до 7 — A ∪ B = [−2; 7].

Пример

Найдите какое-нибудь рациональное число между √2 и √3.

1. Работаем с квадратами: 2 < x² < 3.
2. Для x = 1,5 имеем x² = 2,25 — между 2 и 3.
3. Значит, √2 < 1,5 < √3.

Проверьте себя

1. Какие из чисел √16, √5, 0,(3), π рациональны?

2. Сравните 3√2 и 2√5.

3. Между какими последовательными целыми лежит √50?

4. Запишите 0,000 32 в стандартном виде.

5. Рациональна ли сумма √2 и 2 − √2?

6. Запишите −2 < x ≤ 5 в виде промежутка.

7. Переведите 0,1(6) в обыкновенную дробь.

8. Обращается ли 7/40 в конечную десятичную дробь?

Типичные ошибки

• Считать любую бесконечную десятичную дробь иррациональной — периодическая дробь рациональна.
• Утверждать, что сумма двух иррациональных чисел обязательно иррациональна.
• Вносить множитель под корень без возведения в квадрат: 2√10 ≠ √20, верно √40.
• Ставить квадратную скобку у бесконечности: не [a; +∞], а [a; +∞).
• Переводить смешанную периодическую дробь как чистую: 0,2(3) ≠ 23/99.
• Сравнивать отрицательные числа возведением в квадрат — порядок сохраняется только для неотрицательных.