Сначала изучите: Рациональные и иррациональные числа
Во множестве действительных чисел уравнение x² = −1 не имеет решений: квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Комплексные числа восполняют этот «недостаток»: в них решается любое квадратное уравнение (и вообще любое алгебраическое уравнение). Комплексные числа широко применяются в электротехнике, теории сигналов и физике колебаний. На экзамене спрашивают алгебраические действия, модуль, сопряжённое число, степени i, тригонометрическую форму и квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.
i² = −1
i — мнимая единица. Комплексное число: z = a + bi, где a = Re z — действительная часть, b = Im z — мнимая часть (a, b ∈ R). Такая запись называется алгебраической формой.
Степени `i` повторяются с периодом 4:
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1; iⁿ = i^(n mod 4)
Причина: i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1, поэтому значение возвращается каждые четыре степени.
Вычислите (5 + i)/(1 + i).
Решите уравнение 2z + z̄ = 3 + 2i.
z = a + bi — точка (a; b) координатной плоскости (или вектор из начала координат в эту точку). Горизонтальная ось — действительная, вертикальная — мнимая. Сложение соответствует сложению векторов, а сопряжённое число — точке, симметричной относительно действительной оси.
Модуль: |z| = √(a² + b²) — расстояние от точки до начала координат
|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|, |z̄| = |z|, |z|² = z·z̄
|z₁ − z₂| — расстояние между двумя точками плоскости
Например, |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5. Точки, удовлетворяющие |z − z₀| = R, образуют окружность с центром z₀ и радиусом R; |z − z₀| ≤ R — круг.
Найдите |(3 + 4i)(1 − 2i)|, не перемножая.
Точку можно задать расстоянием и углом:
z = r(cos φ + i sin φ), r = |z|, φ — аргумент (tg φ = b/a с учётом четверти)
При умножении модули перемножаются, аргументы складываются; при делении модули делятся, аргументы вычитаются. Это следует из формул синуса и косинуса суммы.
Формула Муавра: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ)
Вычислите (1 + i)⁸.
При отрицательном дискриминанте корни — пара сопряжённых комплексных чисел:
D < 0: x = (−b ± i√(−D))/(2a)
У уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни всегда идут сопряжёнными парами, и теорема Виета остаётся верной.
Решите x² − 4x + 13 = 0.
Решите уравнение z² = −8 + 6i.
Так как модуль — это расстояние, многие уравнения и неравенства можно «прочитать» геометрически:
|z − z₀| = R — окружность с центром z₀ и радиусом R
|z − z₁| = |z − z₂| — серединный перпендикуляр к отрезку с концами z₁ и z₂
R₁ ≤ |z − z₀| ≤ R₂ — кольцо
В таких задачах чертёж часто сразу даёт ответ вместо алгебраических выкладок. Например, |z − 1 − i| ≤ 2 — круг с центром (1; 1) и радиусом 2; самая далёкая от начала координат его точка находится на расстоянии √2 + 2.
Найдите z, для которого |z| = |z − 2| = |z − 2i|.