Сначала изучите: Формулы сокращённого умножения
Разложение на множители — действие, обратное умножению: многочлен записывают в виде произведения нескольких более простых выражений. Это умение нужно для сокращения дробей, решения уравнений методом «произведение равно нулю», метода интервалов в неравенствах и быстрого устного счёта. В виде произведения сразу видны нули, знак и строение выражения — поэтому это одно из самых используемых преобразований алгебры. В этом уроке разберём основные способы в порядке их применения.
Это всегда первый шаг. После вынесения общего множителя выражение в скобке упрощается, и следующие способы (группировка, формулы) становятся заметнее. Это распределительный закон в обратную сторону: ab + ac = a(b + c). Берём НОД коэффициентов и наименьшую степень каждой переменной:
6x²y − 9xy² = 3xy(2x − 3y).
Проверить легко: раскрыв скобки, должны получить исходное выражение.
Общим множителем может быть и выражение: x(a − b) + y(a − b) = (a − b)(x + y).
(b − a) = −(a − b) — меняя знак, получаем общую скобку
Например, a(x − 1) − b(1 − x) = a(x − 1) + b(x − 1) = (x − 1)(a + b).
Слагаемые группируют, из каждой группы выносят общий множитель, после чего во всех группах появляется одинаковая скобка:
ax + ay − bx − by = a(x + y) − b(x + y) = (a − b)(x + y).
Если с первой попытки общая скобка не появилась, сгруппируйте по-другому — например, слагаемые с x и без x или слагаемые с пропорциональными коэффициентами. В выражении из четырёх слагаемых обычно работает группировка «2 + 2» или «3 + 1».
Разложите на множители x³ − x² − 4x + 4.
a² − b² = (a − b)(a + b); a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²); a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Примеры: x² − 9 = (x − 3)(x + 3); 4x² − 12x + 9 = (2x − 3)²; x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4).
Чтобы узнать формулу, нужно видеть слагаемые как «квадраты» или «кубы»: 4x² = (2x)², 27 = 3³. В полном квадрате средний член обязан быть ровно 2ab.
Иногда полный квадрат получают, прибавив и вычтя слагаемое:
x⁴ + 4 = (x² + 2)² − 4x² = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)
Формулы помогают и в устном счёте: 101² − 99² = (101 − 99)(101 + 99) = 2·200 = 400.
Разложите a² − b² − 2b − 1.
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁, x₂ — корни ax² + bx + c = 0
При D = 0 ax² + bx + c = a(x − x₀)²; при D < 0 трёхчлен не раскладывается на действительные множители.
Быстрый способ по Виету (a = 1): числа с суммой −b и произведением c: x² − 7x + 12 → 3 и 4 → (x − 3)(x − 4).
Разложите 2x² + 5x − 3.
Целые корни многочлена с целыми коэффициентами находятся среди делителей свободного члена. Если x₀ — корень, то многочлен делится на x − x₀ без остатка (теорема Безу).
P(x₀) = 0 ⇔ P(x) = (x − x₀)·Q(x)
Например, у x³ − 6x² + 11x − 6 корень x = 1 (1 − 6 + 11 − 6 = 0), после деления (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
A·B = 0 ⇔ A = 0 или B = 0 (если оба множителя имеют смысл)
Решите x³ − 4x = 0.
Никогда не делите обе части на x — потеряете корень x = 0.
При сокращении дроби числитель и знаменатель раскладывают и сокращают общий множитель, но значения, при которых он равен нулю, исключают из области определения.
Сократите дробь (x² − 5x + 6)/(x² − 4).