Упрощение рациональных выражений

Рациональное выражение — это частное многочленов, то есть алгебраическая дробь: (x + 1)/(x² − 4), 3/a + a/b и т. п. Работа с ними похожа на работу с обыкновенными дробями: сокращение, приведение к общему знаменателю, умножение и деление выполняются так же, как с числовыми дробями. Но есть два дополнительных требования: область определения (знаменатель не равен нулю) и разложение на множители (сокращать можно только множители). Эта тема постоянно нужна в уравнениях, неравенствах, функциях, а позже — в пределах и интегралах.

§1. Рациональное выражение и область определения

Целое выражение (многочлен) имеет смысл при любом x. Дробное выражение имеет смысл только при тех значениях, где знаменатель не равен нулю, потому что деление на нуль не определено.

Порядок нахождения: приравниваем знаменатель к нулю, находим корни и исключаем их.

• Для (x + 1)/(x² − 4): x² − 4 ≠ 0 → x ≠ ±2.
• Для 5/(x² + 1) ограничений нет: x² + 1 > 0 всегда.
• Для 1/x + 2/(x − 3): x ≠ 0 и x ≠ 3.

Важно: после сокращения эти ограничения сохраняются. (x² − 1)/(x² + x) = (x − 1)/x, но исходное выражение не определено и при x = −1, поэтому ответ: (x − 1)/x, x ≠ 0 и x ≠ −1. Два выражения равны только на общей области определения.

§2. Основное свойство дроби и сокращение

Сокращение — обратное применение этого свойства. Порядок:

1. Раскладываем числитель и знаменатель на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, разложение квадратного трёхчлена).
2. Находим общий множитель и делим на него.

Почему? (x + 3)/3 = x/3 + 1 — на 3 делится весь числитель, а не его часть.
Полезное наблюдение: (b − a) = −(a − b), поэтому (a − b)/(b − a) = −1.
Квадратный трёхчлен раскладывается по формуле ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), где x₁, x₂ — его корни.

Пример

Сократите (a² − 9)/(a² − 6a + 9).

1. Числитель: a² − 9 = (a − 3)(a + 3).
2. Знаменатель: a² − 6a + 9 = (a − 3)².
3. Сокращаем на (a − 3): (a + 3)/(a − 3), при a ≠ 3.

§3. Сложение и вычитание

У дробей с одинаковыми знаменателями складываются числители. Дроби с разными знаменателями сначала приводят к наименьшему общему знаменателю:

1. Раскладываем каждый знаменатель на множители.
2. Общий знаменатель — произведение всех встречающихся множителей в наибольших степенях.
3. Для каждой дроби находим дополнительный множитель и умножаем на него числитель.
4. Складываем числители и по возможности сокращаем результат.

При вычитании числитель второй дроби обязательно берётся в скобки — иначе возникает ошибка в знаках.

Пример

Упростите 1/(x − 1) − 1/(x + 1).

1. Общий знаменатель: (x − 1)(x + 1) = x² − 1.
2. Дополнительные множители: для первой x + 1, для второй x − 1.
3. ((x + 1) − (x − 1))/(x² − 1) = 2/(x² − 1).

Пример

Упростите x/(x − 2) − 8/(x² − 4).

1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) — это общий знаменатель.
2. Дополнительный множитель первой дроби x + 2: (x(x + 2) − 8)/((x − 2)(x + 2)).
3. Числитель: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
4. Сокращаем на (x − 2): (x + 4)/(x + 2), при x ≠ ±2.

§4. Умножение, деление и многоэтажные дроби

Сокращать удобно до умножения: сначала всё раскладываем на множители, потом «вычёркиваем». При делении вторая дробь переворачивается (заменяется обратной).
При упрощении многоэтажной дроби сначала отдельно приводим числитель и знаменатель к одной дроби, затем делим. Например, (1 + 1/x)/(1 − 1/x²) = ((x + 1)/x) · (x²/((x − 1)(x + 1))) = x/(x − 1).

Пример

Упростите (a/b − b/a) : (a + b)/(ab).

1. В скобках: a/b − b/a = (a² − b²)/(ab).
2. Заменяем деление умножением: (a² − b²)/(ab) · ab/(a + b).
3. (a − b)(a + b)/(a + b) = a − b.

§5. Значения при условии

Иногда значение выражения нужно найти, не находя x и y. Идея — привести выражение к виду, в котором участвует данное условие:

• Если x − y = 5: 6x + 5 − 6y = 6(x − y) + 5 = 35.
• Если a/b = 3: a = 3b, (2a + b)/(a − b) = 7b/(2b) = 7/2.
• В однородной дроби (все члены числителя и знаменателя одной степени) можно разделить числитель и знаменатель на b и выразить всё через a/b.

§6. Рациональные уравнения и замена

Порядок решения рационального уравнения:

1. Записываем область определения (знаменатели ≠ 0).
2. Умножаем обе части на общий знаменатель и получаем уравнение с многочленами.
3. Решаем полученное уравнение.
4. Сравниваем корни с областью определения и отбрасываем посторонние корни.

Почему появляется посторонний корень? Мы умножили на выражение, которое может быть равно нулю: при x = 2 имеем x² − 4 = 0, умноженное уравнение выполняется, а исходное не имеет смысла.
В симметричных выражениях облегчает работу введение новой переменной.

Пример

Решите x/(x + 2) + 4/(x² − 4) = 1/(x − 2).

1. Область определения: x ≠ ±2.
2. Умножаем на x² − 4: x(x − 2) + 4 = x + 2.
3. x² − 3x + 2 = 0 → x = 1 или x = 2.
4. x = 2 не входит в область определения. Ответ: x = 1.

Пример

Найдите сумму действительных корней x²/3 + 48/x² = 10(x/3 − 4/x).

1. Пусть t = x/3 − 4/x, тогда t² = x²/9 − 8/3 + 16/x².
2. Левая часть: x²/3 + 48/x² = 3(x²/9 + 16/x²) = 3(t² + 8/3) = 3t² + 8.
3. 3t² + 8 = 10t → 3t² − 10t + 8 = 0 → t = 2 или t = 4/3.
4. t = 2: x² − 6x − 12 = 0 (D > 0), сумма корней 6.
5. t = 4/3: x² − 4x − 12 = 0 → x = 6; −2, сумма 4.
6. Всего: 6 + 4 = 10 (x = 0 среди корней нет).

Проверьте себя

1. Найдите область определения (x + 1)/(x² − 4).

2. Сократите (x² − 1)/(x² + x).

3. Упростите 1/(x − 1) − 2/(x² − 1).

4. Найдите (2a + b)/(a − b), если a/b = 3.

5. Решите (x² − 4)/(x − 2) = 5.

6. Решите x/(x − 3) = 3/(x − 3).

7. Решите 3/(x − 1) + 2/(x + 1) = 4/(x² − 1).

8. Упростите (1 + 1/x)/(1 − 1/x²).

Типичные ошибки

• Сокращать слагаемые: (x + 3)/3 ≠ x + 1.
• Забывать область определения после сокращения.
• Включать в ответ рационального уравнения посторонний корень (обращающий знаменатель в нуль).
• При вычитании не менять все знаки в числителе второй дроби.
• Брать вместо общего знаменателя произведение знаменателей и без нужды усложнять выражение.
• При делении переворачивать первую дробь (переворачивается делитель).