Сначала изучите: Действия над многочленами
Линейное уравнение — самое простое уравнение, но именно к нему сводится большинство текстовых задач: задачи на движение, работу, возраст, смеси, цены в итоге приходят к виду ax = b. Более сложные уравнения (дробно-рациональные, с модулем, с параметром) тоже часто распадаются на несколько линейных. Поэтому порядок решения нужно знать до автоматизма и понимать, зачем делается каждый шаг. В этом уроке — определение, этапы решения, дробные коэффициенты, параметр, уравнения, сводящиеся к линейным, и текстовые задачи.
Уравнение вида ax = b называется линейным (x — неизвестное, a и b — числа). Название связано с тем, что график функции y = ax − b — прямая: решить уравнение значит найти точку пересечения этой прямой с осью Ox.
Корень уравнения — число, превращающее уравнение в верное равенство. Решить уравнение — найти все корни или доказать, что их нет.
a ≠ 0: единственный корень x = b/a
a = 0, b = 0: бесконечно много корней (0·x = 0)
a = 0, b ≠ 0: корней нет (0·x = 5)
На языке графиков: a ≠ 0 — прямая пересекает Ox в одной точке; a = 0 — прямая параллельна Ox или совпадает с ней.
Два уравнения равносильны, если у них одни и те же корни. Решение — это приведение уравнения равносильными преобразованиями к виду x = число. Допустимые преобразования:
Порядок решения:
Почему нельзя умножать на ноль? Умножив x = 2 на 0, получим 0 = 0 — это верно при любом x, то есть появляются лишние «корни».
Решите 3(x − 2) = 2x + 5.
Если в уравнении есть дроби, умножаем обе части на НОК знаменателей — дроби исчезают, и вычисления идут в целых числах.
Решите (x − 1)/3 − (x + 2)/4 = 1.
Внимание: минус перед дробью относится ко всему числителю — −3(x + 2) = −3x − 6, а не −3x + 6.
Если в коэффициенте есть буква (параметр), проверяем три случая из §1: сначала приводим уравнение к виду A(a)·x = B(a), затем отдельно рассматриваем значения, при которых A(a) = 0.
При каком a уравнение (a − 2)x = a² − 4 имеет бесконечно много решений?
Если неизвестное стоит в знаменателе, уравнение дробно-рациональное. Решение: сначала записываем условие, что знаменатель не равен нулю, затем умножаем на общий знаменатель, получаем линейное уравнение и проверяем корень по условию.
Условие «знаменатель ≠ 0» записывается до решения и проверяется в конце
Решите (x² − 9)/(x − 3) = 6.
Алгоритм: обозначить неизвестное → записать условия в виде уравнения → решить → проверить смысл (возраст не бывает отрицательным, число людей целое).
Движение: S = v·t; при движении навстречу скорости складываются, в одну сторону — вычитаются
Работа: A = P·t; при совместной работе производительности складываются (вся работа = 1)
Течение: по течению v + u, против течения v − u
Смеси: масса вещества = масса раствора × доля; при смешивании массы вещества складываются
Отцу 40 лет, сыну 10. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов они наполнят его вместе?
Сколько граммов 30%-го раствора надо добавить к 200 г 10%-го, чтобы получить 25%-й раствор?