Системы уравнений

Система уравнений — это задача о нахождении значений, которые одновременно удовлетворяют нескольким условиям. Почти все текстовые задачи с двумя и более неизвестными сводятся к системе: цены, скорости, смеси, производительность. В этом уроке разобраны способы решения (подстановка, сложение, введение новой переменной), число решений линейной системы и задачи с параметром, нелинейные системы, а также составление систем по условию задачи.

§1. Основные понятия

Несколько уравнений, объединённых фигурной скобкой, образуют систему. Решение системы — пара чисел (x; y) (или тройка (x; y; z)), которая обращает все уравнения одновременно в верные равенства. Пара, удовлетворяющая только одному уравнению, решением не является.
Геометрический смысл: каждое уравнение задаёт на плоскости линию (прямую, параболу, окружность), а решения системы — это точки пересечения этих графиков. Поэтому число решений зависит от того, сколько раз пересекаются графики.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Все способы решения основаны на замене системы равносильной, но более простой. Подстановка найденной пары в оба уравнения — самая надёжная проверка.

§2. Способ подстановки

Алгоритм:

1. Из одного уравнения выражаем одно неизвестное через другое.
2. Подставляем во второе уравнение — получаем уравнение с одним неизвестным.
3. Решаем его и подставляем найденное значение в выражение из шага 1.

Удобно выражать то неизвестное, у которого коэффициент 1 или −1, — тогда не появляются дроби. Способ особенно эффективен, когда одно уравнение линейное, а другое нет.

Пример

Решите 2x + 3y = 13, 3x − y = 3.

1. Из второго y = 3x − 3.
2. 2x + 3(3x − 3) = 13 → 11x − 9 = 13 → x = 2.
3. y = 3·2 − 3 = 3. Ответ: (2; 3).

§3. Способ сложения

Умножаем уравнения на подходящие числа, затем складываем или вычитаем — одно неизвестное исчезает. Почему так можно? Если A = B и C = D, то A + C = B + D тоже верно; значит, новое уравнение выполняется на всех решениях системы.
Если коэффициенты противоположны (2y и −2y), сразу складываем; если равны — вычитаем; иначе сначала умножаем. При умножении умножаются обе части уравнения.

Пример

Решите 3x + 2y = 7, 5x − 2y = 9.

1. Коэффициенты при y противоположны — складываем: 8x = 16 → x = 2.
2. Подставляем в первое: 3·2 + 2y = 7 → 2y = 1.
3. y = 1/2. Ответ: (2; 1/2).

§4. Число решений линейной системы

Две прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. Для a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂:

Причина: при a₁/a₂ = b₁/b₂ угловые коэффициенты прямых −a/b равны, то есть прямые параллельны. Если и свободные члены пропорциональны, одно уравнение кратно другому — это одна и та же прямая.
Эта схема — главный инструмент в задачах с параметром: на вопросы «при каком a решений нет / бесконечно много» отвечают именно этими условиями.

Пример

При каком a система x + 2y = 3, 2x + ay = 5 не имеет решений?

1. Для отсутствия решений 1/2 = 2/a → a = 4.
2. Свободные члены: c₁/c₂ = 3/5 ≠ 1/2 — условие выполнено.
3. Ответ: a = 4.

§5. Нелинейные системы

• Если одно уравнение линейное — способ подстановки; обычно получается квадратное уравнение, и решений может быть два.
• Симметричные системы (не меняются при перестановке x и y): замена u = x + y, v = xy.

• Разность квадратов: x² − y² = (x − y)(x + y) — деление одного уравнения на другое.
• Однородное уравнение (вида x² − 5xy + 6y² = 0) — делим на y² и находим t = x/y.

В симметричной системе вместе с каждым решением (a; b) решением является и (b; a) — не забудьте записать оба.

Пример

Решите x² + y² = 25, x + y = 7.

1. xy = ((x + y)² − (x² + y²))/2 = (49 − 25)/2 = 12.
2. x и y — корни t² − 7t + 12 = 0: 3 и 4.
3. Ответ: (3; 4) и (4; 3).

§6. Системы с тремя неизвестными и текстовые задачи

В линейной системе с тремя неизвестными идея та же: складывая или вычитая уравнения попарно, исключаем одно неизвестное и переходим к системе с двумя неизвестными (метод Гаусса).
Как составить систему по текстовой задаче:

1. Чётко обозначаем неизвестные (с единицами: «x — цена ручки в сумах»).
2. Каждое условие записываем отдельным уравнением.
3. Решаем систему и проверяем ответ по смыслу задачи (цена и время не бывают отрицательными).

Пример

Решите x + y + z = 6, x − y + z = 2, 2x + y − z = 1.

1. Вычитаем из первого второе: 2y = 4 → y = 2.
2. Остаются два уравнения: x + z = 4, 2x − z = −1.
3. Складываем: 3x = 3 → x = 1, z = 3. Ответ: (1; 2; 3).

Пример

Из растворов 30 % и 10 % нужно приготовить 20 л раствора 25 %. Сколько литров каждого взять?

1. x — объём раствора 30 %, y — раствора 10 %: x + y = 20.
2. Количество соли: 0,3x + 0,1y = 0,25 · 20 = 5.
3. Подставляем y = 20 − x: 0,3x + 2 − 0,1x = 5 → 0,2x = 3 → x = 15, y = 5.

Проверьте себя

1. Решите x + y = 10, x − y = 4.

2. Решите x − y = 2, xy = 15.

3. Решите x² − y² = 16, x − y = 2.

4. 2 ручки и 3 тетради стоят 13 000 сумов, 3 ручки и 2 тетради — 12 000 сумов. Сколько стоит тетрадь?

5. Сколько решений у системы 2x − y = 1, 4x − 2y = 2?

6. Решите x + y = 5, xy = 6.

7. Решите 4x + 3y = 12, 3x + 4y = 2.

8. При каком a система 3x + ay = 6, x + 2y = 2 имеет бесконечно много решений?

Типичные ошибки

• Найти одно неизвестное и дать ответ, не найдя второе.
• Терять одну из пар (x; y) и (y; x) в симметричной системе.
• Умножить уравнение на число в способе сложения, но не умножить правую часть.
• Не проверить отношение c₁/c₂ в задаче о числе решений.
• При вычитании не менять знаки всех членов второго уравнения.
• Не проверять ответ текстовой задачи по смыслу (отрицательная цена, дробное число людей).