Сначала изучите: Квадратные уравнения и теорема Виета
Неравенства решаются похоже на уравнения, но ответ обычно не одно число, а промежуток или объединение промежутков. Они постоянно встречаются при нахождении области определения функции, определении её знака, в задачах на оптимизацию и в практических задачах («не менее», «не более»). Самый используемый на экзамене способ — метод интервалов: он решает квадратные, дробно-рациональные неравенства и неравенства высших степеней по одному алгоритму. В этом уроке мы пройдём путь от свойств неравенств до неравенств с модулем и классических неравенств.
Решение неравенства f(x) > g(x) — множество всех x, обращающих его в верное числовое неравенство. Ответ записывают промежутками: при строгом знаке (<, >) граница не входит — скобка ( ), при нестрогом (≤, ≥) входит — скобка [ ]. Перед бесконечностью скобка всегда круглая: (3; +∞).
Решить неравенство — значит заменить его равносильным, более простым. Правила:
−2x > 6 → x < −3
Почему знак меняется при умножении на отрицательное число? На числовой оси 2 < 5, но после умножения на −1 получаем −2 и −5, и теперь −2 > −5 — порядок обратный, потому что умножение на −1 отражает ось относительно нуля.
Поэтому умножать на выражение с неизвестным знаком (например, на x или на знаменатель) нельзя.
Неравенство вида ax > b:
при a > 0 x > b/a; при a < 0 x < b/a
Если a = 0, получаем 0 · x > b: при b < 0 решение — любое x, при b ≥ 0 решений нет.
Решите 3x − 5 > 2x + 1.
Чтобы решить ax² + bx + c > 0, представляем параболу:
(x − x₁)(x − x₂) ≤ 0 → [x₁; x₂]; > 0 → x < x₁ или x > x₂ (x₁ < x₂)
Например, x² − 5x + 6 ≤ 0 → [2; 3]; x² > 9 → x < −3 или x > 3.
Решите x² − 2x − 15 < 0.
Универсальный алгоритм для дробно-рациональных неравенств и неравенств в виде произведения:
Почему метод работает? Каждый множитель (x − xᵢ) меняет знак только при переходе через xᵢ; между точками знак всего выражения постоянен.
Найдите сумму целых решений (5x + 3)/(x² + x − 2) > 1.
Система — пересечение решений каждого неравенства; совокупность («или») — объединение. В двойном неравенстве a < f(x) < b одно и то же действие выполняется над всеми тремя частями: −7 < 2x + 1 < 7 → −4 < x < 3.
Модуль — это расстояние на числовой оси. Отсюда:
|f(x)| < a (a > 0) ⇔ −a < f(x) < a
|f(x)| > a ⇔ f(x) < −a или f(x) > a
Например, |x − 3| < 5 — точки, удалённые от 3 меньше чем на 5: (−2; 8).
Найдите число целых решений системы 2x − 1 > 3, x + 4 ≤ 10.
Решите |2x + 1| ≥ 3.
Некоторые неравенства верны для всех чисел и используются в доказательствах и при поиске наибольшего/наименьшего значения:
a² + b² ≥ 2ab, так как (a − b)² ≥ 0
Неравенство Коши: при a, b ≥ 0 (a + b)/2 ≥ √(ab), равенство при a = b
При a > 0 a + 1/a ≥ 2
Например, среди прямоугольников с периметром 20 наибольшую площадь имеет квадрат: a + b = 10, √(ab) ≤ 5, значит ab ≤ 25.