Иррациональные уравнения

В иррациональном уравнении неизвестное стоит под корнем: √(x + 7) = x + 1, √x + √(x + 5) = 5. Основной приём — избавиться от корня, возведя обе части в квадрат (или нужную степень). Но это преобразование не равносильно: оно порождает посторонние корни. Поэтому на каждом шаге нужно записывать условия или в конце делать проверку — именно здесь большая часть экзаменационных ошибок. В этом уроке разберём основные типы уравнений и неравенств, метод замены и использование области определения.

§1. Почему появляются посторонние корни

Возведение в квадрат даёт из a = b равенство a² = b², но обратное неверно: из a² = b² следует a = b или a = −b. Например, возведя в квадрат уравнение x = 3, получим x² = 9 с корнями 3 и −3 — появился посторонний корень −3.

Есть два способа защиты: равносильный переход (записать условия) или проверка (подставить каждое найденное число в исходное уравнение). Если корни «красивые», удобна проверка; если «некрасивые» — надёжнее условия.
Возведение в нечётную степень (например, в куб) равносильно: ∛f = g ⇔ f = g³, посторонних корней не возникает.

§2. Основной тип уравнения

Почему g(x) ≥ 0? Арифметический корень неотрицателен; при возведении в квадрат эта информация теряется. Условие f(x) ≥ 0 отдельно писать не нужно — оно автоматически следует из f = g².

• √f(x) = a, a < 0 — решений нет: √(x − 3) = −2.
• √f(x) = a, a ≥ 0 — f(x) = a².

Пример

Решите √(x + 7) = x + 1.

1. Условие: x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1.
2. Возводим в квадрат: x + 7 = x² + 2x + 1 → x² + x − 6 = 0.
3. Корни: x = 2 или x = −3.
4. x = −3 противоречит условию — посторонний корень. Ответ: x = 2.

Графически: y = √(x + 7) — половина параболы (только верхняя ветвь), y = x + 1 — прямая; они пересекаются в одной точке x = 2. Посторонний x = −3 — точка пересечения прямой с нижней ветвью y = −√(x + 7): возводя в квадрат, мы объединили обе ветви.

§3. Уравнения с двумя корнями

• √f = √g ⇔ f = g и f ≥ 0 (или g ≥ 0 — какое проще).
• √f + √g = c: уединяем один корень и дважды возводим в квадрат. Какой корень уединять — не принципиально, но лучше уединить более сложный: тогда второе возведение в квадрат проще. После каждого возведения полезно снова привести подобные, чтобы корень остался один. Можно возводить и с двумя корнями в одной части, но тогда появится произведение корней.

Пример

Решите √(x + 5) + √x = 5.

1. Уединяем один корень: √(x + 5) = 5 − √x.
2. Возводим в квадрат: x + 5 = 25 − 10√x + x.
3. 10√x = 20 → √x = 2 → x = 4.
4. Проверка: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Ответ: x = 4.

§4. Замена и область определения

Если в выражении есть и √x, и x (или √f и f), вводим t = √x ≥ 0 — уравнение становится квадратным. Отрицательные t отбрасываются.
x − 5√x + 6 = 0 → t² − 5t + 6 = 0 → t = 2; 3 → x = 4; 9.
Иногда ответ даёт сама область определения, без решения: если нет x, при которых все корни существуют одновременно, уравнение решений не имеет.

Пример

Решите √(x − 5) + √(3 − x) = 1.

1. Первый корень: x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5.
2. Второй корень: 3 − x ≥ 0 → x ≤ 3.
3. x ≥ 5 и x ≤ 3 одновременно невозможны — область определения пуста.
4. Ответ: решений нет.

§5. Иррациональные неравенства

В неравенствах проверка не работает (решений бесконечно много), поэтому только равносильные переходы:

Во втором случае две системы: если g отрицательно, неравенство верно при любом x, где корень существует (неотрицательное число больше отрицательного).

Пример (из официального образца)

Решите √(x + 18) < 2 − x.

1. x + 18 ≥ 0 → x ≥ −18; 2 − x > 0 → x < 2.
2. x + 18 < (2 − x)² = x² − 4x + 4 → x² − 5x − 14 > 0.
3. (x − 7)(x + 2) > 0 → x < −2 или x > 7.
4. Пересечение: [−18; −2).

Пример

Решите √(x + 2) > x.

1. Случай 1: x < 0 и x + 2 ≥ 0 → [−2; 0).
2. Случай 2: x ≥ 0 и x + 2 > x² → x² − x − 2 < 0 → −1 < x < 2 → [0; 2).
3. Объединение: [−2; 2).

Проверьте себя

1. Решите √(2x − 1) = 3.

2. Решите √(x + 2) = x.

3. Сколько решений у √(x − 3) = −2?

4. Решите x − 5√x + 6 = 0.

5. Решите √(x − 1) < 2.

6. Решите √(3x + 1) = √(x + 5).

7. Решите ∛(x + 6) = 2.

8. Сколько решений у √(x − 4) + √(1 − x) = 3?

Типичные ошибки

• Не делать проверку после возведения в квадрат и записывать посторонний корень.
• Раскрывать (5 − √x)² как 25 − x — теряется средний член −10√x.
• Забывать в неравенстве условие ≥ 0 для подкоренного выражения.
• Отбрасывать случай g < 0 в неравенстве √f > g.
• При замене забывать условие t = √x ≥ 0 и находить x по отрицательному t.
• Пытаться применять «проверку» к неравенству — работают только равносильные переходы.