Показательные уравнения и неравенства

В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе степени: 2ˣ = 8, 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0. Такие уравнения описывают рост вклада под проценты, размножение бактерий, радиоактивный распад, а на экзамене по этой теме ежегодно бывает несколько вопросов. Главная идея решения — привести обе части к одному основанию или ввести новую переменную. Всё это опирается на свойства степеней и монотонность показательной функции.

§1. Свойства степеней (повторение)

При решении показательных уравнений свойства степеней нужно применять свободно. Для a > 0, b > 0:

Эти свойства нужны, чтобы привести все степени в уравнении к одному основанию: 8 = 2³, 1/4 = 2⁻², √2 = 2^(1/2), 0,125 = 2⁻³, 1/27 = 3⁻³.
Обратите внимание: 2ˣ + 2ˣ = 2 · 2ˣ = 2ˣ⁺¹, но не 4ˣ. Для суммы степеней отдельной формулы нет, она есть только для произведения и частного.

§2. Показательная функция

• Область определения — все действительные числа; область значений — (0; +∞): aˣ всегда положительно.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
• График проходит через точку (0; 1); ось Ox — горизонтальная асимптота.

Основание должно быть a > 0, потому что при отрицательном основании, например, (−4)^(1/2) не определено как действительное число. А a = 1 исключают, так как 1ˣ = 1 — постоянная.
Функция строго монотонна, значит, каждое значение принимает только один раз. Отсюда главное правило:

Кроме того, уравнение aˣ = b при b > 0 имеет единственное решение (x = logₐ b), а при b ≤ 0 решений нет. Например, 3ˣ = −9 корней не имеет.

§3. Приведение к одному основанию

Записываем обе части уравнения в виде степеней с одинаковым основанием и приравниваем показатели.

• 9ˣ = 27 → 3²ˣ = 3³ → 2x = 3 → x = 3/2.
• (1/4)ˣ = 32 → 2⁻²ˣ = 2⁵ → x = −5/2.
• 2^(x² − x) = 4 → x² − x = 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 или x = −1.

Разные основания, одинаковый показатель: aˣ = bˣ → (a/b)ˣ = 1 → x = 0. Полезно и объединять произведение: 3ˣ·2ˣ = 6ˣ, поэтому 3ˣ·2ˣ = 36 → 6ˣ = 6² → x = 2.
Если к одному основанию привести нельзя, используют логарифм: 2ˣ = 5 → x = log₂ 5.

§4. Вынесение общего множителя и замена

Общий множитель. Если показатели отличаются на число (x + 1, x, x − 2), выносим за скобки наименьшую степень.

Пример

Решите 5ˣ⁺¹ − 5ˣ = 100.

1. 5ˣ⁺¹ = 5 · 5ˣ, поэтому выносим 5ˣ: 5ˣ(5 − 1) = 100.
2. 4 · 5ˣ = 100 → 5ˣ = 25.
3. 5ˣ = 5² → x = 2.

Замена. Если в уравнении есть a²ˣ и aˣ, обозначаем t = aˣ, так как a²ˣ = (aˣ)² = t². Получается квадратное уравнение.

Например, 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1; 2 → x = 0; 1.

Пример (из официального образца)

Сумма корней 3³ˣ − 2·3²ˣ + 9·3ˣ⁻² = 0?

1. 9·3ˣ⁻² = 3²·3ˣ⁻² = 3ˣ.
2. t = 3ˣ > 0: t³ − 2t² + t = 0 → t(t − 1)² = 0.
3. t = 0 не подходит, t = 1 → 3ˣ = 1 → x = 0.
4. Ответ: 0.

§5. Однородные показательные уравнения

Уравнение вида A·a²ˣ + B·(ab)ˣ + C·b²ˣ = 0 называют однородным. Например, одновременно встречаются 4ˣ, 6ˣ, 9ˣ: 4ˣ = (2ˣ)², 9ˣ = (3ˣ)², 6ˣ = 2ˣ·3ˣ. Делим обе части на b²ˣ (например, на 9ˣ) — это выражение никогда не равно нулю, поэтому деление безопасно — и переходим к замене t = (a/b)ˣ.

Пример

Решите 4ˣ + 6ˣ = 2·9ˣ.

1. Делим обе части на 9ˣ > 0: (4/9)ˣ + (6/9)ˣ = 2.
2. t = (2/3)ˣ > 0: (4/9)ˣ = t², (6/9)ˣ = t, значит, t² + t − 2 = 0.
3. t = 1 или t = −2; t = −2 не подходит.
4. (2/3)ˣ = 1 → x = 0. Ответ: x = 0.

§6. Показательные неравенства

В неравенстве тоже приводим обе части к одному основанию, но теперь решающую роль играет величина основания:

Причина — в монотонности: у возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение, у убывающей — наоборот.

• (1/2)ˣ > 8 → (1/2)ˣ > (1/2)⁻³ → x < −3.
• (1/3)ˣ ≥ 9 → (1/3)ˣ ≥ (1/3)⁻² → x ≤ −2.
• 2ˣ > −5 выполняется при любом x, так как 2ˣ > 0.

Пример

Решите 4ˣ − 5·2ˣ + 4 < 0.

1. t = 2ˣ > 0: t² − 5t + 4 < 0.
2. (t − 1)(t − 4) < 0 → 1 < t < 4.
3. 1 < 2ˣ < 4 → 2⁰ < 2ˣ < 2²; основание 2 > 1, знак сохраняется.
4. Ответ: 0 < x < 2.

Проверьте себя

1. Решите 2ˣ⁺¹ = 16.

2. Решите 9ˣ = 27.

3. Решите 4ˣ − 3·2ˣ + 2 = 0.

4. Решите (1/2)ˣ > 8.

5. Решите 3ˣ·2ˣ = 36.

6. Решите 2ˣ⁺³ + 2ˣ = 72.

7. Сумма корней 3²ˣ⁺¹ − 10·3ˣ + 3 = 0.

8. Сколько корней у уравнения 3ˣ = −9?

Типичные ошибки

• Не менять знак неравенства при основании 0 < a < 1.
• Оставлять отрицательное или нулевое t при замене t = aˣ.
• Считать 2ˣ + 2ˣ = 4ˣ (верно 2·2ˣ = 2ˣ⁺¹).
• Искать решения уравнений aˣ = 0 или aˣ = −b (показательная функция принимает только положительные значения).
• Найдя t, забыть вернуться к x.