Логарифмы и логарифмические уравнения

Логарифм — ответ на вопрос «в какую степень нужно возвести число?». Он нужен для решения показательных уравнений, работы с большими числами и упрощения сложных выражений; встречается в физике, химии (pH), экономике (сложные проценты). На экзамене почти всегда есть вычисление логарифмического выражения, уравнение или неравенство. Первый шаг каждой логарифмической задачи — область определения: если его пропустить, появляются посторонние корни.

§1. Определение

Логарифм числа b по основанию a — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

Причина условий: любая степень положительного основания положительна, поэтому логарифма отрицательного числа или нуля нет; при a = 1 имеем 1ᶜ = 1, и другие числа получить нельзя.
Примеры: log₂ 32 = 5, так как 2⁵ = 32; log₃(1/9) = −2, так как 3⁻² = 1/9; log₃(1/27) = −3; log₄ 2 = 1/2, так как 4^(1/2) = 2.
Есть два особых логарифма:

• lg b — десятичный логарифм (основание 10): lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
• ln b — натуральный логарифм (основание e ≈ 2,718): ln e = 1, ln 1 = 0.

§2. Основное тождество и простейшие значения

Подставив c из определения в aᶜ = b, получаем основное логарифмическое тождество:

Например, 5^(log₅ 7) = 7; 2^(2 + log₂ 5) = 2² · 2^(log₂ 5) = 4 · 5 = 20; 9^(log₃ 2) = 3^(2 log₃ 2) = 3^(log₃ 4) = 4.
Ключ к применению тождества — согласовать основание степени с основанием логарифма. Если основания разные (9 и 3), сначала приводим их к одному.

§3. Свойства

Свойства логарифмов — «перевод» свойств степеней: при умножении степеней показатели складываются, поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов. Для b > 0, c > 0:

Внимание: для log_a(b + c) формулы нет, и log_a b · log_a c — это не log_a(bc).
При вынесении чётной степени появляется модуль: log_a x² = 2 log_a |x|, так как x может быть и отрицательным.

Пример

Вычислите log₃ 18 − log₃ 2 + log₄ 8.

1. Собираем разность в один логарифм: log₃(18/2) = log₃ 9 = 2.
2. Переходим к новому основанию: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2.
3. Итого: 2 + 3/2 = 3,5.

Пример

Вычислите log₂ 3 · log₃ 8.

1. Цепное правило: log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8.
2. log₂ 8 = 3. Ответ: 3.

§4. Логарифмическая функция

y = log_a x — функция, обратная к y = aˣ; их графики симметричны относительно прямой y = x.

• Область определения x > 0, область значений — все действительные числа.
• График проходит через точку (1; 0); ось Oy — вертикальная асимптота.
• При a > 1 функция возрастает, при 0 < a < 1 убывает.

Из монотонности следует правило сравнения логарифмов. При a > 1: если x > 1, то log_a x > 0; если 0 < x < 1, то log_a x < 0. Например, log₂ 3 > 1 (так как 3 > 2), log₃ 2 < 1 (так как 2 < 3), значит, log₂ 3 > log₃ 2.

§5. Логарифмические уравнения

Порядок решения:

1. Область определения: все выражения под логарифмом > 0, переменное основание > 0 и ≠ 1.
2. Решаем по определению (log_a f = c → f = aᶜ), приведением к одному основанию (log_a f = log_a g → f = g) или заменой.
3. Проверяем найденные корни по области определения.

При применении свойств область может расшириться: выражение log₂(x − 1) + log₂(x + 1) определено при x > 1, а log₂(x² − 1) — ещё и при x < −1. Поэтому область записываем по исходному уравнению.
Если в основании переменная, добавляются условия x > 0 и x ≠ 1. Например, log_x 16 = 2 → x² = 16 → x = ±4; x = −4 не подходит по условию на основание, ответ x = 4.

Пример

Решите log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3.

1. Область: x − 1 > 0 и x + 1 > 0 → x > 1.
2. log₂((x − 1)(x + 1)) = 3 → x² − 1 = 8 → x = ±3.
3. x = −3 не входит в область. Ответ: x = 3.

Пример

Решите lg²x − 3 lg x + 2 = 0.

1. Область: x > 0. Замена t = lg x: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1; 2.
2. lg x = 1 → x = 10; lg x = 2 → x = 100.
3. Оба корня в области. Ответ: x = 10; 100.

§6. Логарифмические неравенства

Как и в показательных неравенствах, всё решает основание:

Область определения обязательно записывать вместе с неравенством, иначе в ответ попадут значения, при которых под логарифмом отрицательное число.

Пример

Решите log_(1/2)(x − 1) > −2.

1. Область: x − 1 > 0 → x > 1.
2. −2 = log_(1/2) 4, так как (1/2)⁻² = 4.
3. Основание 1/2 < 1, знак меняется: x − 1 < 4 → x < 5.
4. Пересечение с областью: 1 < x < 5. Ответ: (1; 5).

Проверьте себя

1. log₂ 32 = ?

2. log₃ 18 − log₃ 2 = ?

3. 5^(log₅ 7) = ?

4. log₄ 8 = ?

5. Решите log₃(2x − 1) = 2.

6. Решите log_(1/2)(x − 1) > −2.

7. Сумма корней log₂(x² − 3x) = 2.

8. 2^(2 + log₂ 5) = ?

Типичные ошибки

• Не записывать область определения и оставлять посторонний корень.
• Считать, что log(b + c) = log b + log c.
• Не менять знак неравенства при основании 0 < a < 1.
• Записывать log_a b·log_a c как log_a(bc).
• Забывать модуль при вынесении чётной степени: log_a x² = 2 log_a |x|.
• Записывать область по уравнению, полученному после применения свойств (она может быть шире).