Арифметическая и геометрическая прогрессии

Прогрессии — последовательности чисел, построенные по определённому правилу. В арифметической прогрессии каждый раз прибавляется одно и то же число, в геометрической — выполняется умножение на одно и то же число. На экзамене мало знать формулы: нужно видеть связи между членами и правильно составлять систему.

§1. Арифметическая прогрессия и её общий член

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа d (разности): aₙ₊₁ = aₙ + d.

• d > 0 — возрастающая, d < 0 — убывающая, d = 0 — постоянная.

От a₁ до aₙ мы прибавляем d ровно n − 1 раз, поэтому:

Характеристическое свойство: каждый член (кроме первого) — среднее арифметическое соседей:

Свойство используют, чтобы проверить, образуют ли три числа прогрессию: для a, b, c должно быть 2b = a + c.

Пример

a₃ = 7, a₇ = 19. Найдите a₂₀.

1. a₇ − a₃ = 4d = 12 → d = 3.
2. a₁ = a₃ − 2d = 1.
3. a₂₀ = 1 + 19·3 = 58.

§2. Сумма арифметической прогрессии

Приём Гаусса: записываем сумму дважды — в прямом и обратном порядке — и складываем. Каждая пара равна a₁ + aₙ, пар n, а результат вдвое больше суммы:

Полезна и обратная связь:

Пример

Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

1. Первое 14, последнее 98, d = 7.
2. Количество членов: (98 − 14)/7 + 1 = 13.
3. S = (14 + 98)·13/2 = 56·13 = 728.

Пример

a₁₀ + a₁₂ = 25, a₂₀ + a₂₂ = 45. Найдите a₁₁ + a₂₁.

1. По свойству: a₁₀ + a₁₂ = 2a₁₁ → a₁₁ = 12,5.
2. Аналогично 2a₂₁ = 45 → a₂₁ = 22,5.
3. a₁₁ + a₂₁ = 35.

§3. Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — каждый член получается умножением предыдущего на одно и то же число q ≠ 0 (знаменатель): bₙ₊₁ = bₙ·q, b₁ ≠ 0.

Откуда формула суммы? Умножим Sₙ на q и вычтем Sₙ: средние члены сократятся, qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁.
При q < 0 знаки членов чередуются — не забывайте об этом в ответе.

Пример

В геометрической прогрессии b₃ = 18, S₃ = 26. Найдите b₁.

1. b₁ + b₁q = 8, b₁q² = 18.
2. Делим: (1 + q)/q² = 4/9 → 4q² − 9q − 9 = 0.
3. D = 81 + 144 = 225, q = (9 ± 15)/8 → q = 3 или q = −3/4.
4. b₁ = 18/q²: b₁ = 2 или b₁ = 32. Проверка: 32 − 24 + 18 = 26 — верно.

§4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При |q| < 1 имеем qⁿ → 0, и Sₙ стремится к конечному числу:

Применение — перевод периодической дроби в обыкновенную:

• 0,(3) = 0,3 + 0,03 + … = 0,3/(1 − 0,1) = 1/3;
• 0,(27) = 0,27/(1 − 0,01) = 27/99 = 3/11.

Пример

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, первый член 4. Найдите знаменатель.

1. 4/(1 − q) = 12 → 1 − q = 1/3.
2. q = 2/3 (условие |q| < 1 выполнено).

§5. Текстовые задачи

Признак: «каждый раз увеличивается на одно и то же число» — арифметическая, «увеличивается в несколько раз / на столько-то процентов» — геометрическая.

Пример

В первом ряду амфитеатра 20 мест, в каждом следующем на 2 больше. Сколько мест в 15 рядах?

1. a₁ = 20, d = 2, n = 15.
2. S = (2·20 + 14·2)·15/2 = 68·15/2 = 510.

§6. Характеристическое свойство и смешанные задачи

Каждый член прогрессии (кроме первого) выражается через соседей. Это свойство полностью описывает прогрессию, поэтому его называют характеристическим:

Часто встречаются «смешанные» задачи, объединяющие оба свойства. При их решении удачный выбор обозначений — половина дела:

• Три числа, образующие арифметическую прогрессию, удобно обозначить a − d, a, a + d — их сумма равна 3a, и d сразу исчезает.
• Три числа геометрической прогрессии удобно обозначить b/q, b, bq — их произведение равно b³.
• Если даны два члена (aₘ и aₖ), разность находят из их разности: aₖ − aₘ = (k − m)d.

Задача может иметь два ответа: если квадратное уравнение даёт два значения d (или q), оба проверяют по условию и оставляют подходящие. Если в условии не сказано «возрастающая» или «с положительными членами», верны оба ответа.

Пример

Три числа с суммой 15 образуют арифметическую прогрессию. Если прибавить к ним соответственно 1, 4 и 19, получится геометрическая прогрессия. Найдите числа.

1. Числа 5 − d, 5, 5 + d (так как 3a = 15 → a = 5).
2. Новые числа: 6 − d, 9, 24 + d.
3. Характеристическое свойство: 9² = (6 − d)(24 + d) → 81 = 144 − 18d − d² → d² + 18d − 63 = 0.
4. d = 3 или d = −21.
5. d = 3: 2, 5, 8 → 3, 9, 27 (q = 3). d = −21: 26, 5, −16 → 27, 9, 3 (q = 1/3). Оба ответа верны.

Проверьте себя

1. a₁ = 5, d = −3. Найдите a₁₂.

2. Найдите сумму первых 20 членов прогрессии 2, 5, 8, ….

3. b₁ = 3, q = 2. Найдите b₆ и S₆.

4. 1, x, 9 — геометрическая прогрессия с положительными членами. x = ?

5. Найдите сумму 8 + 4 + 2 + ….

6. В арифметической прогрессии Sₙ = n² + 3n. Найдите формулу aₙ.

7. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15, произведение — 80. Найдите числа.

8. В арифметической прогрессии a₃ = 7, a₇ = 19. Найдите a₁ и d.

Типичные ошибки

• Писать aₙ = a₁ + nd — верно (n − 1)d.
• Считать число членов как (последний − первый)/d и забывать + 1.
• Терять случай отрицательного q (в примере выше второй ответ b₁ = 32).
• Применять S = b₁/(1 − q) при |q| ≥ 1.
• Извлекая корень из bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁, не учитывать знак (если положительность не оговорена, ±).
• Отбрасывать второе значение d (или q) из квадратного уравнения без проверки — оно тоже может удовлетворять условию.