Функция, область определения и значений

Функция — одно из важнейших понятий математики: уравнения, графики, производная и интеграл опираются на него. На экзамене почти всегда встречаются вопросы про область определения, множество значений, сложную и обратную функции и преобразования графиков. Разберём каждый пункт с объяснением, почему всё устроено именно так.

§1. Определение функции и способы задания

Функция — правило, по которому каждому числу x из множества X ставится в соответствие единственное число y из множества Y. Записывают y = f(x); x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (значение функции).
Ключевое слово — единственное. Если одному x соответствуют два разных y, это не функция.

• y = x² — функция: каждому x одно y.
• y² = x — не функция y от x: при x = 4 получаем y = 2 и y = −2.

Тест вертикальной прямой: если любая вертикальная прямая пересекает кривую не более чем в одной точке, это график функции. Поэтому окружность графиком функции не является.
Функцию задают тремя способами:

• аналитически (формулой): f(x) = 2x − 3;
• таблицей (для каждого x записано значение);
• графиком (множество точек координатной плоскости).

Запись f(a) означает «значение при x = a»: если f(x) = x² − 3x, то f(−2) = 4 + 6 = 10.

§2. Область определения

Область определения D(f) — множество всех x, при которых формула имеет смысл. Для её нахождения помним «запрещённые» действия:

Если в формуле несколько условий, должны выполняться все одновременно — составляем систему и берём пересечение решений.
Многочлен (например, x³ − 2x + 7) и корень нечётной степени (∛x) определены при всех действительных числах.

Пример

Сколько целых чисел входит в область определения f(x) = √(x + 3)/(x − 2) + lg(5 − x)?

1. Подкоренное выражение: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3.
2. Знаменатель: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2.
3. Логарифм: 5 − x > 0 → x < 5.
4. Пересечение: D(f) = [−3; 2) ∪ (2; 5).
5. Целые числа: −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4 — всего 7.

§3. Множество значений

Множество значений E(f) — все y, которые принимает функция. Основные способы:

• Известные ограничения: x² ≥ 0, √u ≥ 0, |u| ≥ 0, −1 ≤ sin x ≤ 1, aˣ > 0.
• Выделение полного квадрата: x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 ≥ 3 → E = [3; +∞).
• Выражение `x` через `y`: значения y, при которых уравнение имеет решение относительно x, и образуют множество значений.

Пример

Найдите множество значений y = 3 − 2sin x.

1. −1 ≤ sin x ≤ 1.
2. Умножаем на −2 (знаки неравенства меняются): −2 ≤ −2sin x ≤ 2.
3. Прибавляем 3: 1 ≤ y ≤ 5. Ответ: E = [1; 5].

Пример

Найдите множество значений y = (2x + 1)/(x − 1).

1. y(x − 1) = 2x + 1 → x(y − 2) = y + 1.
2. При y ≠ 2 получаем x = (y + 1)/(y − 2) — решение есть. При y = 2: 0 = 3 — решений нет.
3. Ответ: E = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

§4. Сложная и обратная функции

Сложная функция f(g(x)): сначала вычисляется g(x), результат подставляется в f. Порядок важен: обычно f(g(x)) ≠ g(f(x)).
Если f(x) = x² − 1, g(x) = 3 − 2x, то:

Задача на нахождение `f`. Дано f(x + 1) = x² + 3x. Обозначим t = x + 1, тогда x = t − 1:
f(t) = (t − 1)² + 3(t − 1) = t² + t − 2, значит f(x) = x² + x − 2.
Обратная функция f⁻¹ «отменяет» действие f: если f(a) = b, то f⁻¹(b) = a. Она существует, только если разным x соответствуют разные y (например, у монотонной функции).
Алгоритм:

1. Из y = f(x) выражаем x.
2. Меняем местами x и y.

Например, y = 2x + 3 → x = (y − 3)/2 → f⁻¹(x) = (x − 3)/2.

§5. Преобразования графиков

Чтобы построить новый график по известному, используют правила:

Почему f(x − 2) сдвигается вправо? Значение, которое старый график имел при x = 0, новый получает при x − 2 = 0, то есть при x = 2 — всё смещается на 2 вправо.

Пример

Как из графика y = x² получить y = (x − 2)² + 1 и где вершина?

1. (x − 2)² — сдвиг вправо на 2.
2. + 1 — сдвиг вверх на 1.
3. Вершина переходит из (0; 0) в (2; 1).

Проверьте себя

1. Найдите область определения y = √(6 − 2x).

2. Найдите область определения y = 1/(x² − 9).

3. Найдите множество значений y = 2cos x − 1.

4. f(x) = 2x + 1, g(x) = x². Найдите f(g(2)) и g(f(2)).

5. Найдите f(x), если f(2x − 1) = 4x + 3.

6. Найдите функцию, обратную к f(x) = (x + 4)/3.

Типичные ошибки

• Путать f(g(x)) и g(f(x)) — сначала вычисляется внутренняя функция.
• Считать f(x − 2) сдвигом влево (на самом деле вправо).
• Забыть одно из условий области определения (например, знаменатель) или взять объединение условий вместо пересечения.
• Путать корень и логарифм: под корнем ≥ 0, под логарифмом строго > 0.
• Не менять знак неравенства при умножении на отрицательное число (при поиске множества значений).
• Понимать обратную функцию как 1/f(x): f⁻¹ — это не степень.