Линейная функция и её график

Линейная функция — самая простая и одна из самых востребованных: равномерное движение, оплата по тарифу, уравнение касательной записываются в виде y = kx + b. На экзамене часто спрашивают смысл коэффициентов, уравнение прямой через две точки, условия параллельности и перпендикулярности.

§1. Определение и смысл коэффициентов

• `k` — угловой коэффициент. Показывает, на сколько меняется y при увеличении x на единицу: k = Δy/Δx. Геометрически k = tg α, где α — угол между прямой и положительным направлением оси Ox.
• `b` — начальное значение. При x = 0 имеем y = b, то есть график пересекает ось Oy в точке (0; b).

Частные случаи:

• b = 0: y = kx — прямая пропорциональность, график проходит через начало координат.
• k = 0: y = b — горизонтальная прямая, параллельная Ox.
• Вертикальная прямая x = a функцией не является (одному x соответствует бесконечно много y).

Например, для y = −x + 4 имеем tg α = −1, значит α = 135°.

§2. Монотонность и пересечение с осями

• k > 0 — функция возрастает (прямая поднимается слева направо), α — острый угол.
• k < 0 — убывает, α — тупой угол.

Точки пересечения с осями:

Для построения графика достаточно двух точек — удобнее всего взять именно эти.
Прямая и оси образуют прямоугольный треугольник с катетами |b| и |b/k|:

Пример

Найдите площадь треугольника, который прямая y = 2x − 6 образует с осями координат.

1. С Oy: x = 0 → y = −6, точка (0; −6).
2. С Ox: 2x − 6 = 0 → x = 3, точка (3; 0).
3. Катеты 3 и 6: S = 3·6/2 = 9.

§3. Прямая через две точки

Если даны точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂), сначала находим угловой коэффициент:

Затем подставляем одну из точек в y = kx + b и находим b. Общая формула:

Принадлежность точки прямой: подставляем координаты в уравнение — если равенство верно, точка лежит на прямой.

Пример

Составьте уравнение прямой через точки (1; 3) и (3; 7). Лежит ли на ней точка (5; 11)?

1. k = (7 − 3)/(3 − 1) = 2.
2. 3 = 2·1 + b → b = 1. Уравнение: y = 2x + 1.
3. x = 5: y = 11 — да, лежит.

§4. Взаимное расположение двух прямых

Пусть даны y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂.

Почему произведение равно −1? При повороте на 90° направляющий вектор (1; k) переходит в (−k; 1), и новый угловой коэффициент равен 1/(−k) = −1/k.
Точку пересечения находят, приравнивая правые части: k₁x + b₁ = k₂x + b₂.

Пример

Найдите прямую через точку (2; 1), перпендикулярную y = 2x + 5, и точку её пересечения с y = 2x + 5.

1. k = −1/2.
2. 1 = −1/2·2 + b → b = 2. Уравнение: y = −x/2 + 2.
3. 2x + 5 = −x/2 + 2 → 5x/2 = −3 → x = −6/5, y = 2·(−6/5) + 5 = 13/5.
4. Точка пересечения (−1,2; 2,6).

§5. Параметры и линейные модели

• y = (m − 3)x + 2 убывает, если m − 3 < 0 → m < 3.
• На отрезке линейная функция принимает наибольшее и наименьшее значения на концах: на [−1; 4] для y = 2x − 1 имеем min = −3, max = 7.
• Прикладная модель: такси — посадка 5000 сумов и 2000 сумов за км → y = 2000x + 5000; за 12 км — 29000 сумов.

§6. Пересечение прямых и системы уравнений

Общая точка графиков двух линейных функций — пара (x; y), которая удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Значит, найти точку пересечения — то же самое, что решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Возможны три случая, и они полностью совпадают с взаимным расположением из §4:

• k₁ ≠ k₂ — прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение.
• k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂ — прямые параллельны, система не имеет решений.
• k₁ = k₂, b₁ = b₂ — прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Графический способ быстро показывает число решений, но точное значение даёт алгебраический способ (приравнивание или подстановка). Найдя точку пересечения, полезно подставить её в оба уравнения: ошибка сразу станет видна.
Точка пересечения часто входит в геометрическую задачу: две прямые и координатная ось образуют треугольник, вершины которого — точки пересечения.

Пример

Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми y = 2x − 1, y = −x + 5 и осью Oy.

1. Пересечение: 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2, y = 2·2 − 1 = 3; точка (2; 3).
2. Проверка: −2 + 5 = 3 — верно.
3. Пересечения с Oy: (0; −1) и (0; 5); основание на Oy равно 5 − (−1) = 6.
4. Высота — расстояние от точки пересечения до Oy, то есть |x| = 2.
5. S = 6·2/2 = 6.

Проверьте себя

1. Найдите k и b прямой 3y − 6x = 9.

2. Какой угол образует прямая y = −x + 4 с осью Ox?

3. Найдите прямую через точки (−1; 2) и (3; −6).

4. Найдите прямую через (1; 5), параллельную y = 3x − 1.

5. Найдите площадь треугольника, образованного прямой y = −2x + 4 и осями.

6. При каком a прямые y = (a + 1)x + 3 и y = 2x − 1 перпендикулярны?

7. Найдите точку пересечения прямых y = 3x + 2 и y = x − 4.

8. Прямая y = kx + 3 проходит через точку (2; 7). Найдите k.

Типичные ошибки

• Считать угловой коэффициент «наоборот»: (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁).
• Запоминать условие перпендикулярности как k₁ = −k₂ (верно k₁·k₂ = −1).
• Записывать пересечение с Ox как (b; 0) — на самом деле (−b/k; 0).
• Читать коэффициенты, не приведя уравнение к виду y = kx + b (в 3y − 6x = 9 коэффициент не 6).
• Забывать условие b₁ ≠ b₂ для параллельности: совпадающие прямые параллельными не считаются.
• Найдя точку пересечения, вычислять y только по одному уравнению и не проверять подстановкой во второе.