МатематикаМатематика · 27 / 54

Гипербола, функции с корнем и модулем

Школьная программа· 30 мин· Вопросов: 1

Сначала изучите: Квадратичная функция и парабола

После параболы и прямой чаще всего на экзамене встречаются гипербола, функции с корнем и с модулем. Вопросы обычно касаются области определения, асимптот, точек пересечения графиков и числа решений уравнений с параметром. Если знать «скелет» каждой функции, сдвинутые варианты строятся с одного взгляда.

§1. Гипербола и дробно-линейная функция

y = k/x, k ≠ 0 — обратная пропорциональность; D = E = (−∞; 0) ∪ (0; +∞)

k > 0 — ветви в I и III четвертях, убывает на каждом промежутке.
k < 0 — во II и IV четвертях, возрастает на каждом промежутке.
Оси координат — асимптоты: график бесконечно приближается к ним, но не пересекает.
Функция нечётная: график симметричен относительно начала координат.

Тонкий момент: при k > 0 функция y = k/x убывает «на каждом промежутке», но не на всей области определения: −1 < 1, однако f(−1) = −k < f(1) = k.
Сдвинутая гипербола:

y = k/(x − a) + b — асимптоты x = a и y = b

y = (ax + b)/(cx + d) — асимптоты x = −d/c и y = a/c

Пример

Найдите асимптоты y = (2x + 1)/(x − 1) и опишите график.

Выделим целую часть: 2x + 1 = 2(x − 1) + 3, значит y = 2 + 3/(x − 1).
Это y = 3/x, сдвинутая на 1 вправо и на 2 вверх.
Асимптоты: x = 1 и y = 2; k = 3 > 0 — ветви в «I и III четвертях», образованных асимптотами.

§2. Функция с корнем

y = √x: D = [0; +∞), E = [0; +∞), возрастает

График — правая половина параболы y = x², отражённая относительно y = x («лежащая» полупарабола), так как при x ≥ 0 функции √x и x² взаимно обратны.

y = √(x − a) + b — график «начинается» в точке (a; b).
y = ∛x — определена при всех действительных числах, нечётная и возрастающая.

Пример

Найдите D, E и точку пересечения с Ox для y = √(x + 4) − 1.

x + 4 ≥ 0 → D = [−4; +∞).
√(x + 4) ≥ 0 → y ≥ −1, E = [−1; +∞); график начинается в (−4; −1).
√(x + 4) = 1 → x + 4 = 1 → x = −3. Точка (−3; 0).

§3. Функция с модулем

|x| = x при x ≥ 0; |x| = −x при x < 0

y = |x| — «галочка» с вершиной (0; 0), чётная функция. У y = |x − a| + b вершина (a; b).
Два главных правила построения:

y = |f(x)|: часть графика f ниже Ox отражается вверх.
y = f(|x|): часть при x ≥ 0 сохраняется и отражается влево относительно Oy.

Пример

Найдите площадь треугольника, образованного графиком y = |x − 2| − 3 и осью Ox.

Вершина (2; −3), ветви вверх.
С Ox: |x − 2| = 3 → x = 5 или x = −1.
Основание 6, высота 3: S = 6·3/2 = 9.

Пример (параметр)

Сколько решений имеет |x² − 4| = a в зависимости от a?

Часть y = x² − 4 ниже Ox (−2 < x < 2) отражается вверх; вершина нового «горба» — (0; 4).
Пересечения с горизонталью y = a: a < 0 — 0; a = 0 — 2; 0 < a < 4 — 4; a = 4 — 3; a > 4 — 2.

§4. Степенная функция

y = xⁿ: n чётное — чётная функция, y ≥ 0; n нечётное — нечётная, E = ℝ

Все графики y = xⁿ (n > 0) проходят через (1; 1).
При 0 < x < 1 чем больше показатель, тем меньше значение (x³ < x²), при x > 1 — наоборот.
y = x⁻ⁿ = 1/xⁿ похожа на гиперболу; y = 1/x² чётная, y > 0.

§5. Пересечение графиков

Общие точки двух графиков — решения уравнения f(x) = g(x). Эскиз помогает заранее увидеть число решений.

Пример

Сколько общих точек у f(x) = 2√x и g(x) = 2x и какова площадь между ними?

2√x = 2x → √x = x → x = x² → x = 0 или x = 1 — две точки: (0; 0) и (1; 2).
На (0; 1) выполняется √x > x, поэтому S = ∫₀¹(2√x − 2x)dx.
= (4/3)x^(3/2) − x² |₀¹ = 4/3 − 1 = 1/3.

§6. Преобразования графиков: сдвиг, отражение, растяжение

График новой функции не обязательно строить с нуля: чаще всего он получается из известного графика (y = √x, y = |x|, y = 1/x, y = x²) несколькими простыми преобразованиями. Этот приём одинаково работает для всех функций из предыдущих параграфов.

y = f(x − a) + b — график сдвигается на a единиц вправо и на b единиц вверх

y = −f(x) — отражение относительно Ox, y = f(−x) — относительно Oy

y = k·f(x) (k > 0) — растяжение вдоль Oy в k раз (при k < 1 — сжатие)

Изменение внутри скобки действует по горизонтали и «наоборот»: график f(x − 3) сдвигается не влево, а вправо, потому что прежняя точка x = 0 теперь получается при x = 3.
Слагаемое вне скобки действует по вертикали и «прямо»: + b вверх, − b вниз.
Порядок преобразований важен: сдвиг и отражение, выполненные в разном порядке, могут дать разные графики. Надёжный порядок: сначала изменения внутри скобки, затем −f или k·f, в конце вертикальный сдвиг.

При сдвиге вместе с графиком смещаются и область определения, и множество значений. Например, для y = √(x + 4) − 1: D = [−4; +∞), E = [−1; +∞); график пересекает Ox при √(x + 4) = 1, то есть x = −3, а Oy — в точке y = √4 − 1 = 1.

Пример

Постройте график y = 2 − |x + 1| и найдите площадь треугольника, который он образует с осью Ox.

Основа — y = |x| (вершина (0; 0), ветви вверх).
|x + 1| — сдвиг на 1 единицу влево, вершина (−1; 0).
−|x + 1| — отражение относительно Ox, ветви направлены вниз.
2 − |x + 1| — сдвиг на 2 единицы вверх, вершина (−1; 2).
Пересечение с Ox: |x + 1| = 2 → x = 1 или x = −3; основание 4, высота 2.
S = 4·2/2 = 4.

Проверьте себя

Найдите асимптоты y = 3/(x + 2) − 1.

В каких четвертях лежит график y = −6/x и чему равно значение при x = −2?

Найдите область определения и множество значений y = √(5 − x) + 2.

Решите |x − 3| = 5.

Найдите точки пересечения y = 4/x и y = x.

Сколько решений имеет |x² − 4| = 3?

Каким сдвигом из графика y = √x получается график y = √(x − 3) + 2?

Найдите площадь треугольника, ограниченного графиком y = 1 − |x − 2| и осью Ox.

Типичные ошибки

Думать, что график y = k/x пересекает оси — оси являются асимптотами.
Называть y = 1/x убывающей на всей области определения (только на каждом промежутке).
Считать √x определённой при отрицательных x; путать с ∛x.
Путать правила для |f(x)| и f(|x|).
В |x − 3| = 5 записывать только одно решение (x = 8).
Сдвигать график y = f(x − a) влево: − a внутри скобки сдвигает график вправо.

Итог: 0 / 8 верно (решено: 0)