Чётность, монотонность, периодичность

О «поведении» функции можно многое узнать, не строя график: симметрична ли она, где возрастает, где положительна, повторяется ли, в каких пределах меняется. Эти свойства часто спрашивают в тестах, и они сильно упрощают сложные задачи: чётность сокращает вычисления вдвое, монотонность гарантирует единственность корня, периодичность сводит большой аргумент к малому. Этот урок продолжает тему «Понятие функции» и готовит к исследованию функции с помощью производной.

§1. Чётные и нечётные функции

Прежде всего область определения должна быть симметрична относительно `0`: если x принадлежит области, то и −x тоже. Иначе функция ни чётная, ни нечётная.

Примеры: чётные — x², x⁴, |x|, cos x; нечётные — x, x³, sin x, tg x, ctg x, 1/x. Названия пришли от степенной функции: xⁿ чётна при чётном n и нечётна при нечётном.
Правила действий (похожи на знаки при умножении чисел):

• чётная · чётная = чётная, нечётная · нечётная = чётная, чётная · нечётная = нечётная;
• чётная + чётная = чётная, нечётная + нечётная = нечётная; чётная + нечётная (обе не равны нулю) — в общем случае ни чётная, ни нечётная;
• если нечётная функция определена в 0, то f(0) = 0 (так как f(0) = −f(0)).

Порядок проверки: симметрична ли область → вычислить f(−x) и сравнить с f(x) и −f(x).

Пример

Определите чётность f(x) = sin x · √(1 + x²).

1. Область — все числа, симметрична.
2. f(−x) = sin(−x)·√(1 + (−x)²) = −sin x·√(1 + x²).
3. f(−x) = −f(x). Ответ: нечётная.

Ещё пример: у g(x) = √x + x⁴ область x ≥ 0 — несимметрична, значит, функция ни чётная, ни нечётная.

§2. Монотонность

Монотонность проверяется на промежутке. Например, y = x² убывает на (−∞; 0] и возрастает на [0; +∞), но на всей оси не монотонна. y = 1/x убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞) по отдельности, но не на их объединении: −1 < 1, а f(−1) = −1 < f(1) = 1.

• Через производную: если на промежутке f′(x) > 0, функция возрастает, если f′(x) < 0 — убывает.
• Основные функции: y = kx + b возрастает при k > 0; y = aˣ возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1; y = logₐx — так же; y = k/x при k > 0 убывает на каждом промежутке.
• Возрастающая + возрастающая = возрастающая; если f возрастает, то −f убывает.

Использование монотонности. Возрастающая функция принимает каждое значение не более одного раза. Поэтому у уравнения 2ˣ + x = 3 левая часть возрастает, корень единственный — подбором x = 1. Аналогично для возрастающей функции неравенство f(a) < f(b) равносильно a < b.

§3. Периодичность

• sin x, cos x — 2π; tg x, ctg x — π.
• Период y = f(kx + b) равен T/|k|: sin 3x → 2π/3, tg(x/2) → 2π. Причина: аргумент меняется в k раз быстрее, и полное колебание завершается в k раз быстрее.
• Период |sin x|, sin²x равен π (отрицательная часть «переворачивается»).
• Период суммы — наименьшее общее кратное периодов: sin 2x + cos 3x → НОК(π; 2π/3) = 2π.

У периодической функции большой аргумент можно уменьшать на период: если период T, то f(x + nT) = f(x).

Пример

Найдите период y = sin(x/3) + tg(x/2).

1. sin(x/3) → 2π : (1/3) = 6π.
2. tg(x/2) → π : (1/2) = 2π.
3. НОК(6π; 2π) = 6π.

Пример

f — нечётная функция с периодом 4, f(1) = 2. Найдите f(7).

1. Периодичность: f(7) = f(7 − 8) = f(−1).
2. Нечётность: f(−1) = −f(1).
3. f(7) = −2.

§4. Ограниченность, наибольшее и наименьшее значения

Функция ограничена сверху, если существует M с f(x) ≤ M; ограничена снизу — если f(x) ≥ m. Если оба — ограничена. Например, sin x ограничена, x² ограничена только снизу, x³ не ограничена.
Множество значений E(f). Для y = sin x: E = [−1; 1].

Формула следует из введения вспомогательного угла: a sin x + b cos x = √(a² + b²)·sin(x + φ).

Пример

Найдите наибольшее значение y = 3 sin x + 4 cos x − 2.

1. Наибольшее значение 3 sin x + 4 cos x равно √(9 + 16) = 5.
2. Наибольшее значение y: 5 − 2 = 3.

§5. Нули и промежутки знакопостоянства

Нули функции — значения x, при которых f(x) = 0; в них график пересекает ось Ox. Нули и точки, где функция не определена, разбивают область на промежутки знакопостоянства: внутри каждого промежутка непрерывная функция не меняет знак. На этом основан метод интервалов.

Пример

Где положительна y = (x − 1)(x + 2)/(x − 3)?

1. Нули: x = 1, x = −2; точка, где функция не определена: x = 3.
2. При x > 3 все множители положительны → y > 0.
3. При переходе через каждую простую точку знак меняется: на (1; 3) — −, на (−2; 1) — +, при x < −2 — −.
4. Ответ: y > 0 при x ∈ (−2; 1) ∪ (3; +∞).

Проверьте себя

1. f(x) = x³ − 5x чётная или нечётная?

2. f(x) = x² cos x + |x| чётная или нечётная?

3. Основной период y = cos 4x.

4. Период y = sin 2x + cos 3x.

5. Сколько корней у уравнения x⁵ + x = 2?

6. Множество значений y = 5 − 2 sin x.

7. f — чётная функция с периодом 6, f(2) = 5. Найдите f(−8).

8. Наименьшее значение y = 5 sin x − 12 cos x.

Типичные ошибки

• Не проверять симметричность области определения (функции с √x, lg x).
• Забывать вариант «ни чётная, ни нечётная».
• Считать период sin kx равным 2πk — верно 2π/|k|.
• Делать вывод о монотонности на всей оси, не разделяя промежутки.
• Брать период суммы как сумму или произведение периодов — нужен НОК.
• В промежутках знакопостоянства не учитывать точки, где функция не определена.