Меры углов и тригонометрические отношения

Тригонометрия связывает углы и стороны. Она используется при решении треугольников, при описании колебаний и волн (звук, переменный ток), в навигации и инженерном деле. Её основа — единичная окружность: если понимать синус и косинус как координаты точки на окружности, то знаки, значения и формулы приведения становятся не зубрёжкой, а логикой. В этом уроке разобраны меры углов, единичная окружность, основные значения, знаки, периодичность и определения в прямоугольном треугольнике.

§1. Меры углов: градусы и радианы

В градусной мере полный оборот делится на 360°. В математике же чаще используют радианы.
Радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Длина окружности 2πR, то есть в ней укладывается 2π радиусов — значит полный угол равен 2π радиан.

Основные углы: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 135° = 3π/4, 150° = 5π/6, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π.
Радианы удобны тем, что формулы дуги и сектора становятся очень простыми:

Если единица угла не указана (sin 2), угол считается заданным в радианах.

Пример

Переведите 210° в радианы.

1. Формула: α = 210 · π/180.
2. Сокращаем 210/180 = 7/6.
3. Ответ: 7π/6.

§2. Единичная окружность и определения

Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 — единичная окружность. Угол отсчитывается от положительного направления оси Ox: поворот против часовой стрелки — положительный угол, по часовой — отрицательный.

То есть косинус — абсцисса точки, синус — ордината. Это определение работает для любого угла, а не только для острого.
Прямые следствия определения:

• −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1, так как координаты не превосходят радиус.
• tg α и ctg α принимают любые значения.
• tg α не определён при α = π/2 + πk, ctg α — при α = πk (знаменатель равен нулю).
• tg α — ордината точки, в которой луч OP пересекает касательную x = 1.

Пример

Найдите координаты точки P единичной окружности, соответствующей углу 120°, и tg 120°.

1. 120° — II четверть, угол с отрицательным направлением Ox равен 60°.
2. P(−cos 60°; sin 60°) = (−1/2; √3/2), то есть cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2.
3. tg 120° = (√3/2) : (−1/2) = −√3.

§3. Таблица основных значений

• sin 0 = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
• cos 0 = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0
• tg 0 = 0, tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3, tg 90° — не существует
• sin 180° = 0, cos 180° = −1, sin 270° = −1, cos 270° = 0

Как запомнить: значения sin — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2; у cos — в обратном порядке.
Откуда они берутся? Для 45° берём равнобедренный прямоугольный треугольник: катеты 1, гипотенуза √2, значит sin 45° = 1/√2 = √2/2. Для 30° и 60° делим высотой равносторонний треугольник со стороной 2: катеты 1 и √3, гипотенуза 2.

§4. Знаки по четвертям и чётность

Причина: знак берётся из знаков координат точки. Во II четверти x точки отрицателен, y положителен — cos < 0, sin > 0, поэтому tg < 0. В III четверти обе координаты отрицательны, а их частное tg положительно.
Чётность: точка для угла −α симметрична точке для α относительно Ox: абсцисса сохраняется, ордината меняет знак.

Пример

Найдите sin 240°.

1. 240° = 180° + 60° — III четверть, sin < 0.
2. Соответствующий острый угол 60°.
3. sin 240° = −sin 60° = −√3/2.

§5. Периодичность и большие углы

Если к углу прибавить полный оборот 360° (2π), точка остаётся на месте, поэтому значение функции не меняется.

Наименьший положительный период sin и cos равен 2π, у tg и ctg — π (в диаметрально противоположных точках синус и косинус одновременно меняют знак, а их отношение сохраняется).
Порядок работы с большим углом: сначала отбрасываем кратное 360°, затем определяем четверть и соответствующий острый угол.

Пример

Вычислите sin 750° и cos(−120°).

1. 750° = 2 · 360° + 30°, значит sin 750° = sin 30° = 1/2.
2. cos(−120°) = cos 120° (косинус чётный).
3. 120° — II четверть, cos 120° = −cos 60° = −1/2.

§6. В прямоугольном треугольнике

Для острого угла определения совпадают с определениями на единичной окружности (треугольник можно поместить в окружность и воспользоваться подобием):

Отсюда практические формулы: a = c · sin α, b = c · cos α, a = b · tg α. Например, измерение высоты: если вершина дерева видна с расстояния 20 м под углом 30°, высота равна 20 · tg 30° = 20√3/3 ≈ 11,5 м.

Пример

Гипотенуза 10, α = 30°. Найдите катеты.

1. Противолежащий катет: 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5.
2. Прилежащий катет: 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3.
3. Проверка: 25 + 75 = 100 — верно.

Проверьте себя

1. Переведите 5π/4 в градусы.

2. Вычислите cos 150°.

3. Вычислите tg 315°.

4. α в III четверти. Каков знак sin α · cos α?

5. Найдите длину дуги радиуса 6 с центральным углом π/3.

6. Вычислите sin²30° + cos²60° + tg²45°.

7. Вычислите cos(13π/3).

8. Найдите площадь сектора радиуса 6 с центральным углом π/6.

Типичные ошибки

• Смешивать градусы и радианы (sin 30 в радианах — другое число).
• Путать знаки во II и IV четвертях.
• Писать tg 90° = 0 или 1 (он не существует).
• Путать sin и cos по прилежащему и противолежащему катетам.
• Считать sin(−α) равным sin α (синус — нечётная функция).
• Не отбрасывать кратное 360° у большого угла и неверно определять четверть.