Тригонометрические тождества

Тождества — равенства, верные при любом (допустимом) значении угла. С их помощью, зная одну функцию, можно найти остальные, упростить выражение, доказать равенство и свести большой угол к острому. Эти навыки постоянно нужны в тригонометрических уравнениях, а также в темах о производной и интеграле. В уроке разобраны основное тождество и его следствия, выбор знака по четверти, приёмы упрощения и доказательства, а также формулы приведения.

§1. Основное тригонометрическое тождество

Точка (cos α; sin α) единичной окружности находится на расстоянии 1 от центра. По теореме Пифагора (или формуле расстояния):

Это равенство выполняется при любом α — это «главный закон» тригонометрии. Из него следуют:

Чтобы получить второе, делим основное тождество на cos²α: sin²α/cos²α + 1 = 1/cos²α. Третье — делением на sin²α. Эти формулы позволяют найти cos и sin, если известен tg или ctg.
Тождества работают только там, где выражения определены: формула tg α · ctg α = 1 не имеет смысла при α = πk/2.

§2. Нахождение остальных функций по одной

Из основного тождества:

Важно: знак перед корнем выбирается по четверти, в которой лежит угол. Тождество даёт только квадрат, а знак определяет четверть. Здесь ошибаются чаще всего.
Порядок:

1. Определяем четверть и выписываем знаки всех функций.
2. Находим квадрат по подходящему тождеству.
3. Извлекаем корень и ставим заранее определённый знак.
4. Остальные функции находим через tg = sin/cos, ctg = 1/tg.

Пример

sin α = 3/5, α во II четверти. Найдите cos α и tg α.

1. Во II четверти cos α < 0.
2. cos α = −√(1 − 9/25) = −√(16/25) = −4/5.
3. tg α = (3/5) : (−4/5) = −3/4.

Пример

tg α = 2, α в III четверти. Найдите sin α и cos α.

1. 1/cos²α = 1 + 4 = 5 → cos²α = 1/5.
2. В III четверти cos α < 0: cos α = −1/√5 = −√5/5.
3. sin α = tg α · cos α = −2/√5 = −2√5/5.

§3. Упрощение выражений

Основные приёмы:

• Заменять 1 на sin²α + cos²α (или наоборот).
• Записывать tg и ctg как sin/cos и cos/sin.
• Приводить к общему знаменателю и раскладывать на множители.
• Применять формулы сокращённого умножения.

Образцы:

• (1 − cos²α)/(1 − sin²α) = sin²α/cos²α = tg²α.
• sin⁴α + cos⁴α = (sin²α + cos²α)² − 2sin²α cos²α = 1 − 2sin²α cos²α.
• (sin α + cos α)² = 1 + 2 sin α cos α.

Однородные дроби с известным `tg`. Если tg α = 3, то для (sin α + cos α)/(sin α − cos α) делим числитель и знаменатель на cos α: (tg α + 1)/(tg α − 1) = 4/2 = 2. Находить сам угол не нужно.

Пример

Найдите sin α · cos α, если sin α + cos α = 1/2.

1. Возводим обе части в квадрат: sin²α + 2 sin α cos α + cos²α = 1/4.
2. 1 + 2 sin α cos α = 1/4.
3. sin α cos α = (1/4 − 1)/2 = −3/8.

§4. Доказательство тождеств

Доказать тождество — показать, что обе части равны при всех допустимых α. Способы:

• Упростить более сложную часть и привести её к другой.
• Привести обе части к одному и тому же выражению.
• Показать, что разность левой и правой частей равна 0.

«Работа» сразу с обеими частями равенства (например, возведение обеих частей в квадрат) доказательством не является — это может добавить посторонние случаи.
Например, (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α: левая часть 1 − sin²α = cos²α — доказано. Или tg α + ctg α = 1/(sin α cos α): левая часть (sin²α + cos²α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α).

§5. Формулы приведения

Они сводят функции углов π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π ± α к функциям α. Заучивать их не нужно — достаточно «правила лошади»:

Почему так? Поворот на π/2 + α на единичной окружности меняет координаты местами (x и y), поэтому sin и cos меняются местами. А π + α переносит точку симметрично относительно центра — обе координаты только меняют знак.
Образцы: sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(π/2 + α) = cos α, cos(3π/2 + α) = sin α, tg(π + α) = tg α.

Пример

Упростите cos(3π/2 + α).

1. 3π/2 — вертикальная ось, название меняется: cos → sin.
2. Если α острый, 3π/2 + α — IV четверть, там исходная функция cos > 0, знак +.
3. Ответ: sin α.

§6. Большие углы и смешанные вычисления

Сначала отбрасываем полные обороты (кратные 360°), затем применяем формулу приведения: sin 1110° = sin(1110° − 3·360°) = sin 30° = 1/2; cos 300° = cos(360° − 60°) = cos 60° = 1/2.

Пример

Вычислите sin 150° · cos 240° + tg 225°.

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.
2. cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2; tg 225° = tg(180° + 45°) = 1.
3. 1/2 · (−1/2) + 1 = 3/4.

Пример

Вычислите 2(sin⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + sin⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)).

1. cos(3π/8) = sin(π/8), sin(5π/8) = cos(π/8), cos⁴(7π/8) = cos⁴(π/8).
2. Сумма: 2sin⁴(π/8) + 2cos⁴(π/8) = 2(1 − ½ sin²(π/4)) = 2 · 3/4 = 3/2.
3. 2 · 3/2 = 3.

Проверьте себя

1. cos α = −5/13, α во II четверти. Найдите tg α.

2. Упростите sin²α · ctg²α + sin²α.

3. Чему равно sin(π/2 + α)?

4. tg α = 1/2. Найдите (2 sin α − cos α)/(sin α + 3 cos α).

5. Вычислите cos 1020°.

6. sin α + cos α = 1/3. Найдите sin α cos α.

7. Упростите (1 − sin α)(1 + sin α)/cos α.

8. Найдите (sin α + cos α)/(sin α − cos α), если tg α = 3.

Типичные ошибки

• Не учитывать знак четверти при извлечении корня.
• Забывать смену названия в формуле приведения или выбирать знак по новой функции.
• Применять sin²α + cos²α = 1 как sin α + cos α = 1.
• Неправильно отбрасывать полные обороты у большого угла (вычитать 180° вместо 360°).
• Путать sin²α и sin α² (первое — квадрат синуса).
• При доказательстве тождества преобразовывать обе части одновременно и считать это доказательством.