Школьная программа· 35 мин· Вопросов: 21
Сначала изучите: Тригонометрические тождества
Формулы этой темы связывают функции двух углов. С их помощью можно вычислять значения для углов, которых нет в таблице (15°, 75°, 105°), упрощать выражения, решать тригонометрические уравнения и находить наибольшее и наименьшее значения функции. Все формулы выводятся из одной — формулы cos(α − β), поэтому понимать логику важнее, чем заучивать: забыв формулу, вы сможете восстановить её за пару строк.
Возьмём на единичной окружности точки A(cos α; sin α) и B(cos β; sin β). Угол между векторами OA и OB равен α − β, их длины равны 1. Запишем скалярное произведение двумя способами:
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β — источник всех формул
Остальные получаются заменами: заменив β на −β, получаем cos(α + β); с помощью формулы приведения sin x = cos(π/2 − x) — sin(α ± β); разделив sin на cos — tg(α ± β); положив β = α — формулы двойного угла.
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tg(α ± β) = (tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β)
Внимание: в формуле cos знак противоположный — в сумме минус, в разности плюс. В формуле sin — «смешанные» произведения (sin · cos), в формуле cos — «одноимённые» (cos · cos, sin · sin).
Эти формулы читаются в обе стороны: sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20° = sin 60° = √3/2.
Вычислите sin 75°.
Аналогично cos 15° = cos(45° − 30°) = (√6 + √2)/4, tg 15° = 2 − √3.
tg α = 2, tg β = 3. Найдите tg(α + β).
Положим β = α:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
tg 2α = 2tg α/(1 − tg²α)
sin 3α = 3sin α − 4sin³α, cos 3α = 4cos³α − 3cos α
Три вида cos 2α получаются друг из друга с помощью основного тождества sin²α + cos²α = 1 — выбирайте тот, который удобнее в задаче.
Понижение степени (очень нужно в интегралах и уравнениях) — выражаем sin²α и cos²α из формулы cos 2α:
sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2
Половинный угол — замена α на α/2 в этих формулах: sin²(α/2) = (1 − cos α)/2. Например, sin 15° = √((1 − cos 30°)/2) = (√6 − √2)/4 (15° в I четверти, знак +).
Узнавайте готовые шаблоны: 2 sin 15° cos 15° = sin 30° = 1/2; cos²15° − sin²15° = cos 30° = √3/2; 1 − 2sin²22,5° = cos 45° = √2/2.
sin α = 3/5, α в I четверти. Найдите sin 2α и cos 2α.
Вычислите cos 20° · cos 40° · cos 80°.
sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α − β)/2)
sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α − β)/2)
cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α − β)/2)
cos α − cos β = −2 sin((α + β)/2) sin((α − β)/2)
Они получаются сложением формул §2: sin(x + y) + sin(x − y) = 2 sin x cos y, затем полагаем x + y = α, x − y = β. Главная польза — в уравнении превратить сумму в произведение и приравнять каждый множитель к нулю.
Упростите (cos 3α + cos α)/(sin 3α − sin α).
sin α cos β = ½(sin(α + β) + sin(α − β))
cos α cos β = ½(cos(α − β) + cos(α + β))
sin α sin β = ½(cos(α − β) − cos(α + β))
Если в уравнении есть произведение, удобно превратить его в сумму и сравнить части; в интеграле произведение интегрировать трудно, а сумму — легко.
Например, sin 15° sin 75° = ½(cos 60° − cos 90°) = ½ · ½ = 1/4.
Выражение вида a sin x + b cos x можно свести к одному синусу:
a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ), где cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²)
Доказательство — раскрыть sin(x + φ) по формуле §2. Следствие: наибольшее значение выражения √(a² + b²), наименьшее −√(a² + b²). Например, √3 sin x + cos x = 2 sin(x + π/6), так как √(3 + 1) = 2, cos φ = √3/2, sin φ = 1/2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения y = 3 sin x + 4 cos x.