Любое тригонометрическое уравнение в итоге сводится к простейшим (sin x = a, cos x = a, tg x = a). Поэтому сначала их нужно знать безупречно, затем — приёмы сведения. Из-за периодичности корней бесконечно много, ответ записывают с параметром n ∈ Z.
§1. Простейшие уравнения
sin x = a (|a| ≤ 1): x = (−1)ⁿ arcsin a + πn
cos x = a (|a| ≤ 1): x = ± arccos a + 2πn
tg x = a (любое a): x = arctg a + πn
При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = aрешений не имеют
Частные случаи (проще общей формулы):
sin x = 0 → x = πn; sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn.
cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn.
Аркфункции:arcsin a ∈ [−π/2; π/2], arccos a ∈ [0; π], arctg a ∈ (−π/2; π/2). arcsin(−a) = −arcsin a, arccos(−a) = π − arccos a.
Пример
cos x = −1/2. arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3 → x = ±2π/3 + 2πn.
§2. Сведение к одной функции и замена
Сводим уравнение к одной функции и вводим t = sin x (или cos x, tg x). Не забывайте условие |t| ≤ 1.
Пример
2cos²x + sin x − 1 = 0.
cos²x = 1 − sin²x: 2 − 2sin²x + sin x − 1 = 0 → 2sin²x − sin x − 1 = 0.
t = sin x: 2t² − t − 1 = 0 → t = 1 или t = −1/2.
sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1/2 → x = (−1)ⁿ⁺¹ π/6 + πn.
§3. Однородные уравнения
a sin x + b cos x = 0 — делим на cos x (проверив, что cos x = 0 не корень): tg x = −b/a. a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 — делим на cos²x: a tg²x + b tg x + c = 0.
Пример
sin²x − 3 sin x cos x + 2cos²x = 0.
При cos x = 0 было бы и sin²x = 0 — невозможно, делить можно.
tg²x − 3tg x + 2 = 0 → tg x = 1 или tg x = 2.
x = π/4 + πn, x = arctg 2 + πn.
§4. Разложение на множители и формулы
Не делите обе части на выражение с переменной — потеряете корни. Выносите общий множитель.
Пример
sin 2x = cos x.
2 sin x cos x − cos x = 0 → cos x (2 sin x − 1) = 0.
cos x = 0 → x = π/2 + πn; sin x = 1/2 → x = (−1)ⁿ π/6 + πn.
Пример (из официального образца)
sin 7x · cos x = sin 6x. Сколько корней на [−π; π]?
Произведение в сумму: ½(sin 8x + sin 6x) = sin 6x → sin 8x = sin 6x.
8x = 6x + 2πk → x = πk; или 8x = π − 6x + 2πk → x = π/14 + πk/7 = π(2k + 1)/14.
Первая серия на [−π; π]: −π, 0, π — 3 корня; вторая: нечётные 2k + 1 от −13 до 13 — 14 корней; серии не пересекаются.
Всего 17; наименьший положительный корень π/14.
§5. a sin x + b cos x = c — вспомогательный угол
Делим обе части на √(a² + b²). При |c| > √(a² + b²) решений нет.
Пример
sin x + cos x = 1 → √2 sin(x + π/4) = 1 → sin(x + π/4) = √2/2 → x = 2πn или x = π/2 + 2πn.
§6. Отбор корней на заданном промежутке
Во многих тестовых заданиях спрашивают не общее решение, а корни на заданном промежутке, их количество или сумму. Общее решение даёт бесконечно много чисел, поэтому из них нужно отобрать попадающие в промежуток. Для этого есть три способа:
Перебор целых `n`. Подставляем в общее решение n = 0, ±1, ±2, … и продолжаем, пока не выйдем за пределы промежутка. Самый надёжный и простой способ.
С помощью неравенства. Решаем двойное неравенство a ≤ x₀ + πn ≤ b относительно n и находим подходящие целые n. Удобно, когда промежуток большой.
На единичной окружности. Отмечаем корни на окружности, выделяем дугу, соответствующую промежутку, и считаем точки на ней. Хорошо подходит, чтобы быстро увидеть количество корней.
Концы промежутка проверяйте отдельно: граничные точки вроде x = 0, x = π, x = 2π входят в отрезок [a; b], но не входят в интервал (a; b).
В решениях из двух серий (например, серии со знаками + и − для cos x = a или два уравнения после разложения на множители) каждую серию проверяют отдельно, а совпадающие корни в конце считают один раз.
Пример
Найдите корни уравнения cos 2x = 1/2 на отрезке [0; π].
2x = ±π/3 + 2πn → x = ±π/6 + πn.
Серия x = π/6 + πn: при n = 0 — π/6 (входит), при n = 1 — 7π/6 > π (не входит).
Серия x = −π/6 + πn: при n = 0 — −π/6 < 0 (не входит), при n = 1 — 5π/6 (входит).