Планиметрия — наука о фигурах на плоскости. Она опирается на неопределяемые основные понятия (точка, прямая, плоскость) и аксиомы; все остальные понятия определяются через них, все теоремы из них доказываются. Свойства отрезков, углов и параллельных прямых из этой темы — «язык» всех последующих геометрических задач: в задачах о треугольниках, четырёхугольниках, окружностях они используются на каждом шагу. Поэтому важно не только запомнить каждое правило, но и понять, почему оно верно.
Если в задаче не сказано, как расположены точки, нужно рассмотреть все случаи: если A, B, C на одной прямой, точка B может лежать и между A и C, и с краю.
AB = 12, точка C делит AB в отношении AC : CB = 1 : 3, M — середина AB. Найдите CM.
Точки A, B, C лежат на одной прямой, AB = 7, BC = 3. Найдите AC.
Угол — два луча, выходящих из одной точки (вершины). Углы измеряются в градусах; развёрнутый угол — 180°. Виды: острый (< 90°), прямой (90°), тупой (от 90° до 180°), развёрнутый (180°).
Сумма смежных углов 180°; вертикальные углы равны
У смежных углов одна сторона общая, а две другие образуют прямую — поэтому вместе они составляют развёрнутый угол. Вертикальные углы равны, так как оба смежны с одним и тем же углом: из α + β = 180° и γ + β = 180° следует α = γ.
Биссектриса делит угол пополам. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны: α/2 + β/2 = 180°/2 = 90°.
n лучей из одной точки образуют n(n − 1)/2 углов (если считать углы меньше развёрнутого).
Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла — две пары вертикальных. Зная один из них, можно найти остальные три.
Разность смежных углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 20°. Найдите меньший.
Найдите угол между стрелками часов в 3:40.
Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Аксиома параллельных: через точку вне прямой проходит только одна прямая, параллельная данной.
При пересечении двух параллельных прямых третьей (секущей) образуются 8 углов:
Соответственные углы равны; накрест лежащие углы равны; сумма односторонних углов 180°
Обратно: если выполнено одно из этих условий, прямые параллельны — это признаки параллельности. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
На практике: среди 8 углов только два различных значения — α и 180° − α. Зная это, любой угол находится с одного взгляда.
При двух параллельных прямых и секущей внутренние односторонние углы относятся как 2 : 7. Найдите их.
Из свойств параллельных прямых следует один из важнейших фактов геометрии. Проведём через вершину треугольника прямую, параллельную противоположной стороне: по равенству накрест лежащих углов три угла треугольника вместе составят развёрнутый угол.
Сумма углов треугольника 180°
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
Следствия: в треугольнике не больше одного прямого или тупого угла; каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Внешний угол треугольника 120°, не смежные с ним внутренние углы относятся как 1 : 3. Найдите их.
Перпендикуляр из точки на прямую — кратчайшее расстояние; любая наклонная из этой точки длиннее (в прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее катета).
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра
Расстояние между параллельными прямыми везде одинаково
Эти два свойства позже понадобятся для нахождения центров описанной и вписанной окружностей треугольника.
Из точки A к прямой a проведены перпендикуляр AH = 5 и наклонная AB длины 13. Найдите HB и укажите расстояние от A до прямой.