Треугольник и его элементы

Треугольник — простейший многоугольник, но большая часть задач планиметрии сводится именно к нему: четырёхугольник делится диагональю, а многоугольник — на несколько треугольников. Треугольник — «жёсткая» фигура: если заданы три стороны, он определён полностью, поэтому конструкции мостов и башен собирают из треугольников. В этом уроке разобраны свойства углов и сторон, неравенство треугольника, медиана, биссектриса, высота и средняя линия, замечательные точки треугольника, а также равнобедренный и равносторонний треугольники.

§1. Свойства углов

Почему `180°`? Через одну вершину проведём прямую, параллельную противоположной стороне. Образовавшиеся накрест лежащие углы равны двум другим углам треугольника, а все три угла вместе составляют развёрнутый угол (180°).
Отсюда следует свойство внешнего угла: внешний угол и смежный с ним внутренний в сумме дают 180°, значит внешний угол равен сумме двух других внутренних.
По углам треугольники бывают: остроугольные (все < 90°), прямоугольные (один 90°), тупоугольные (один > 90°). В треугольнике может быть не больше одного прямого или тупого угла.

Пример

Внешний угол 120°, не смежные с ним внутренние углы относятся как 1 : 3. Найдите эти углы.

1. Свойство внешнего угла: x + 3x = 120°.
2. x = 30°.
3. Углы: 30° и 90°.

§2. Стороны и неравенство треугольника

Каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности. Смысл: кратчайший путь между двумя точками — отрезок, обход через третью вершину всегда длиннее. Если a = b + c, все три точки лежат на одной прямой (вырожденный треугольник).

• Против большей стороны лежит больший угол (и наоборот).
• По сторонам: разносторонний, равнобедренный, равносторонний.

Чтобы проверить, можно ли построить треугольник из трёх отрезков, достаточно убедиться, что наибольший отрезок меньше суммы двух других.

Пример

Две стороны 3 и 8. Сколько целых значений может принимать третья сторона?

1. 8 − 3 < c < 8 + 3 → 5 < c < 11.
2. c = 6, 7, 8, 9, 10.
3. Ответ: 5 значений.

§3. Медиана

Отрезок из вершины к середине противоположной стороны.

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (основания равны, высота общая); три медианы — на 6 треугольников равной площади. Центр тяжести — точка равновесия в физическом смысле: картонный треугольник удерживается в этой точке на острие иглы.
В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

Пример

В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC, BD — медиана, BD = 4, периметр треугольника ABD равен 12. Найдите периметр ABC.

1. AB + AD + BD = 12 → AB + AD = 8.
2. BC = AB, AC = 2AD.
3. P(ABC) = 2AB + 2AD = 2 · 8 = 16.

§4. Биссектриса и вписанная окружность

Биссектриса — отрезок, делящий угол пополам (от вершины до противоположной стороны).

Каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Поэтому три биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности; эта точка удалена от всех трёх сторон на одно и то же расстояние r. Радиус r = S/p (p — полупериметр).

Пример

AB = 6, BC = 9, AC = 10. На какие отрезки биссектриса из вершины B делит AC?

1. AD : DC = AB : BC = 6 : 9 = 2 : 3.
2. AC делится на 5 частей, одна часть 10 : 5 = 2.
3. AD = 4, DC = 6.

§5. Высота, серединный перпендикуляр и средняя линия

• Высота — перпендикуляр из вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре. Так как S = ½ a·hₐ, то hₐ = 2S/a: к большей стороне проведена меньшая высота. В тупоугольном треугольнике две высоты падают вне треугольника — на продолжения сторон.
• Серединные перпендикуляры — прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины. Они пересекаются в центре описанной окружности (эта точка равноудалена от вершин). В прямоугольном треугольнике этот центр — середина гипотенузы.
• Средняя линия соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Три средние линии образуют треугольник с периметром, вдвое меньшим, и площадью, равной 1/4 исходной.

Пример

Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15 равна 84. Найдите высоту, проведённую к стороне 14.

1. S = ½ · a · h, откуда h = 2S/a.
2. h = 2 · 84/14.
3. h = 12.

§6. Равнобедренный и равносторонний треугольники

• В равнобедренном углы при основании равны; медиана, проведённая к основанию, одновременно биссектриса и высота. Верно и обратное: треугольник с двумя равными углами — равнобедренный.
• В равностороннем все углы 60°, все замечательные точки совпадают.

Эти формулы следуют из высоты: h = √(a² − a²/4) = a√3/2; центр делит медиану в отношении 2 : 1, поэтому R = 2h/3, r = h/3.

Пример

Стороны равнобедренного треугольника 5, 5, 6. Найдите медиану к основанию и площадь.

1. Медиана является и высотой, она делит основание на 3 и 3.
2. m = √(25 − 9) = 4 (и по формуле: ½√(50 + 50 − 36) = 4).
3. S = ½ · 6 · 4 = 12.

Проверьте себя

1. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите их.

2. Угол при основании равнобедренного треугольника 40°. Найдите угол при вершине.

3. Медиана равна 12. Найдите расстояние от центра тяжести до вершины.

4. Две стороны 4 и 7. Сколько целых значений может принимать третья сторона?

5. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 6.

6. Периметр треугольника 24. Найдите периметр треугольника, образованного его средними линиями.

7. Можно ли построить треугольник из отрезков 2, 3, 6?

8. Катеты 6 и 8. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

Типичные ошибки

• Путать медиану и биссектрису (совпадают только проведённые к основанию равнобедренного треугольника).
• Брать отношение 2 : 1 для точки пересечения медиан в обратном порядке.
• Использовать в неравенстве треугольника ≤ вместо строгого < (вырожденный треугольник).
• Неверно сопоставлять стороны в свойстве биссектрисы (к AD прилежит сторона AB).
• Путать центры вписанной и описанной окружностей (биссектрисы ↔ серединные перпендикуляры).
• Считать, что в тупоугольном треугольнике все высоты лежат внутри.