Школьная программа· 30 мин· Вопросов: 20
Сначала изучите: Треугольник и его элементы
Доказательство равенства или подобия двух треугольников — главный инструмент геометрии. Равенство позволяет приравнять неизвестный отрезок или угол к известному, а подобие — составить пропорцию и вычислить неизвестное. Свойства равнобедренного треугольника, средняя линия, одно из доказательств теоремы Пифагора, масштаб карты и измерение высоты по тени — всё опирается на эти два понятия. В этом уроке разобраны признаки, порядок их применения, теорема Фалеса, свойство биссектрисы и подобие в прямоугольном треугольнике.
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением (сдвигом, поворотом, отражением). У равных треугольников равны соответствующие стороны и соответствующие углы. Порядок соответствия важен: запись △ABC = △KLM означает A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M.
Чтобы доказать равенство, не нужно проверять все шесть элементов — достаточно трёх:
1) Две стороны и угол между ними (СУС)
2) Сторона и два прилежащих к ней угла (УСУ)
3) Три стороны (ССС)
Для прямоугольных треугольников дополнительно: два катета; катет и острый угол; гипотенуза и катет; гипотенуза и острый угол.
Внимание: «две стороны и угол, не лежащий между ними» в общем случае не признак: таким условиям могут соответствовать два разных треугольника. Равенство трёх углов тоже не признак — оно даёт лишь подобие.
Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и каждый делится ею пополам. Докажите, что AC = BD.
Многие известные свойства доказываются признаками равенства:
Порядок доказательства: выбираем два треугольника, содержащих нужный отрезок или угол → находим в них три равных элемента (условие, вертикальный угол, общая сторона, углы при параллельных прямых) → называем признак → записываем равенство соответствующих элементов.
Общая сторона — «бесплатный» равный элемент для двух треугольников
Треугольники, у которых углы соответственно равны, а соответствующие стороны пропорциональны, подобны: a₁/a = b₁/b = c₁/c = k, где k — коэффициент подобия. Подобные фигуры одинаковы «по форме», различаются только размером.
Признаки: 1) два угла равны; 2) две стороны пропорциональны и углы между ними равны; 3) три стороны пропорциональны
Отношение периметров k, площадей k², объёмов k³
Почему площадь меняется в k² раз? Площадь — произведение двух линейных размеров (½ · основание · высота), и каждый увеличивается в k раз. Соответствующие элементы (медиана, высота, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей) тоже относятся как k.
Чаще всего используется признак по двум углам: прямая, параллельная стороне треугольника, всегда отсекает подобный треугольник (соответственные углы равны).
Периметры подобных треугольников 12 и 18. Площадь меньшего 20. Найдите площадь большего.
Прямая, параллельная AC, пересекает AB в точке M, BC — в точке N; BM = 4, MA = 2, AC = 9. Найдите MN.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки
Если на одной стороне отложены равные отрезки, то и на другой получаются равные. Отсюда следует свойство средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине (k = 1/2).
Свойство биссектрисы: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
BD/DC = AB/AC (AD — биссектриса угла A)
AB = 6, AC = 9, BC = 10. На какие части биссектриса угла A делит BC?
Столб высотой 2 м отбрасывает тень 3 м, а дерево в тот же момент — тень 15 м. Найдите высоту дерева.
Высота, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, подобных друг другу и исходному (в каждом общий острый угол). Отсюда:
h² = a_c · b_c, a² = c · a_c, b² = c · b_c
Сложив последние два соотношения, получаем a² + b² = c(a_c + b_c) = c² — доказательство теоремы Пифагора через подобие.
Высота делит гипотенузу на отрезки 4 и 9. Найдите высоту и катеты.
Треугольники, прилежащие к основаниям и образованные диагоналями трапеции, подобны, k = a/b (отношение оснований). Если основания 4 и 10, диагонали делятся в отношении 2 : 5, а площади этих треугольников относятся как 4 : 25.
На практике подобие используется в картах и чертежах (масштаб), при увеличении фотографий, при измерении недоступных расстояний и высот. Например, на карте масштаба 1 : 50 000 отрезок 4 см соответствует 2 км на местности.