Сначала изучите: Равенство и подобие треугольников
Теорема Пифагора — самый применяемый результат геометрии. Она связывает все три стороны прямоугольного треугольника одним простым равенством. При поиске расстояний, диагоналей, высот, в координатных и пространственных задачах почти всегда «спрятан» прямоугольный треугольник — увидеть его и есть главное умение. В этом уроке по порядку разобраны сама теорема, её доказательство, обратная теорема, пифагоровы тройки, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и практические применения.
§1. Основные понятия и теорема
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой — она всегда самая длинная. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами.
В прямоугольном треугольнике c² = a² + b² (c — гипотенуза, a, b — катеты)
Словами: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Отсюда две рабочие формулы:
c = √(a² + b²), a = √(c² − b²)
При поиске гипотенузы квадраты складываются, при поиске катета — вычитаются. Катет никогда не больше гипотенузы — этим удобно проверять ответ.
Почему это верно? В квадрат со стороной a + b укладываются четыре одинаковых прямоугольных треугольника и квадрат со стороной c. Приравниваем площади: (a + b)² = 4 · ab/2 + c². Раскрываем левую часть: a² + 2ab + b² = 2ab + c², откуда a² + b² = c². Доказательство показывает, что теорема по сути говорит о площадях: сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
Пример
Катеты 5 и 12. Найдите гипотенузу и периметр.
- c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
- c = √169 = 13.
- Периметр: 5 + 12 + 13 = 30.
§2. Обратная теорема и определение вида треугольника
Обратная теорема: если для сторон треугольника выполняется c² = a² + b², то треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против стороны c. Эта теорема позволяет узнать угол по сторонам.
Расширение (здесь c — наибольшая сторона):
c² = a² + b² — прямоугольный; c² > a² + b² — тупоугольный; c² < a² + b² — остроугольный
Почему так? Вспомните теорему косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C: при cos C < 0 (тупой угол) c² увеличивается, при cos C > 0 — уменьшается. Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при C = 90°.
Важно: всегда проверяется наибольшая сторона, потому что наибольший угол лежит против наибольшей стороны.
Пример
Каков треугольник со сторонами 5, 6, 8?
- Наибольшая сторона 8: 8² = 64.
- Остальные: 5² + 6² = 25 + 36 = 61.
- 64 > 61, значит треугольник тупоугольный.
§3. Пифагоровы тройки и особые треугольники
Целые числа, удовлетворяющие a² + b² = c², называются пифагоровыми тройками. Самые частые: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 9, 40, 41. Кратные любой тройки — тоже тройки: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 15, 20, 25; 10, 24, 26. Узнавание сильно ускоряет счёт: увидев 15 и 20, делим на 5, узнаём 3, 4 и сразу получаем гипотенузу 25.
Два особых треугольника нужно знать наизусть:
30°–60°–90°: катеты a и a√3, гипотенуза 2a (катет против 30° — половина гипотенузы)
45°–45°–90°: катеты a, гипотенуза a√2
Первый получается, если разрезать равносторонний треугольник высотой: сторона 2a, половина основания a, высота √(4a² − a²) = a√3. Второй — половина квадрата, разрезанного диагональю.
Пример
Гипотенуза 10, один угол 30°. Найдите катеты.
- Катет против 30° равен половине гипотенузы: 10 : 2 = 5.
- Второй катет: √(100 − 25) = √75 = 5√3.
- Ответ: 5 и 5√3.
§4. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Опустим из вершины прямого угла высоту h на гипотенузу. Она делит гипотенузу на отрезки a_c и b_c (проекции катетов). Два получившихся маленьких треугольника подобны исходному, поэтому:
Высота к гипотенузе: h = ab/c, h² = a_c · b_c
Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: a² = c · a_c, b² = c · b_c
Медиана к гипотенузе = c/2; радиус описанной окружности R = c/2
Радиус вписанной окружности r = (a + b − c)/2; площадь S = ab/2
Формула h = ab/c следует из записи площади двумя способами: S = ab/2 = c·h/2. Центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, потому что прямой угол — вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Пример
Катеты 6 и 8. Найдите гипотенузу, высоту и радиусы.
- c = √(36 + 64) = 10.
- h = 6 · 8/10 = 4,8.
- R = 10/2 = 5, r = (6 + 8 − 10)/2 = 2.
Пример
Высота делит гипотенузу на отрезки 3,6 и 6,4. Найдите высоту и катеты.
- h² = 3,6 · 6,4 = 23,04 → h = 4,8.
- Гипотенуза c = 3,6 + 6,4 = 10.
- a² = 10 · 3,6 = 36 → a = 6; b² = 10 · 6,4 = 64 → b = 8.
§5. Практические применения
Во многих задачах прямоугольный треугольник нужно «достроить» самому:
- Лестница: лестница 13 м стоит в 5 м от стены — касается стены на высоте √(169 − 25) = 12 м.
- Ромб: диагонали 10 и 24 → сторона √(5² + 12²) = 13 (диагонали перпендикулярны и делятся пополам).
- Равнобедренный треугольник: 10, 10, 12 → высота √(100 − 36) = 8, площадь ½ · 12 · 8 = 48.
- Прямоугольник: стороны 9 и 40 → диагональ √(81 + 1600) = 41.
- Хорда окружности: радиус 13, хорда на расстоянии 5 от центра → половина хорды 12, хорда 24.
Пример
Основания равнобедренной трапеции 4 и 16, боковая сторона 10. Найдите высоту.
- Опускаем высоты из концов верхнего основания: по краям нижнего основания остаются отрезки по (16 − 4)/2 = 6.
- Боковая сторона, высота и отрезок 6 образуют прямоугольный треугольник.
- h = √(10² − 6²) = √64 = 8.
§6. Пифагор в координатах и в пространстве
Формула расстояния между двумя точками — это сама теорема Пифагора: разность по горизонтали и разность по вертикали — катеты, расстояние — гипотенуза.
AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
В пространстве: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
Диагональ куба a√3, диагональ прямоугольного параллелепипеда √(a² + b² + c²)
Формула для параллелепипеда получается двукратным применением теоремы: сначала диагональ основания √(a² + b²), затем по ней и высоте c — пространственная диагональ.
Пример
Найдите расстояние между точками A(1; 2) и B(4; 6).
- Разности: 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4.
- AB = √(3² + 4²) = √25.
- AB = 5.
Проверьте себя
- Гипотенуза 17, катет 8. Найдите второй катет.
- Является ли треугольник 7, 24, 25 прямоугольным?
- Найдите диагональ квадрата со стороной 4.
- Катеты 9 и 12. Найдите радиус вписанной окружности.
- Катеты 9 и 12. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
- Найдите диагональ параллелепипеда с измерениями 3, 4, 12.
- Какого вида треугольник со сторонами 6, 7, 9?
- В окружности радиуса 26 найдите длину хорды, удалённой от центра на 10.
Типичные ошибки
- Приравнивать к сумме квадратов катет вместо гипотенузы.
- Применять теорему, не проверив, что треугольник прямоугольный.
- При определении вида треугольника проверять не наибольшую сторону, а произвольную.
- Считать катет против 30° половиной другого катета, а не гипотенузы.
- Брать в ромбе целые диагонали вместо половин.
- Упрощать √(a² + b²) до a + b.
Итог: 0 / 8 верно (решено: 0)