Теоремы синусов и косинусов

Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике. Чтобы «решить» произвольный треугольник — то есть по известным элементам (сторонам и углам) найти остальные, нужны теоремы синусов и косинусов. Они также дают несколько способов найти площадь, формулы медианы и диагоналей. Эти теоремы широко применяются в геодезии, навигации и физике (сложение сил).

§1. Обозначения и основная идея

В треугольнике ABC стороны обозначают малыми буквами по противолежащим вершинам: a = BC (против угла A), b = AC, c = AB. Это соглашение очень важно для правильной записи теорем: a всегда лежит против угла A.
Треугольник полностью определяется тремя элементами (хотя бы один из них — сторона). Отсюда четыре случая:

• три стороны (SSS) — углы находят по теореме косинусов;
• две стороны и угол между ними (SAS) — третью сторону находят по теореме косинусов;
• сторона и два угла (ASA, AAS) — сначала третий угол из 180°, затем теорема синусов;
• две стороны и угол против одной из них (SSA) — теорема синусов, но решений может быть два, одно или ни одного.

§2. Теорема косинусов

Аналогично: b² = a² + c² − 2ac cos B, c² = a² + b² − 2ab cos C.
Почему это верно? Поместим A в начало координат, а AB — вдоль оси Ox: B(c; 0), C(b cos A; b sin A). По формуле расстояния a² = (b cos A − c)² + b² sin² A = b²(cos² A + sin² A) − 2bc cos A + c² = b² + c² − 2bc cos A.
При A = 90° имеем cos A = 0 и получаем теорему Пифагора — теорема косинусов её обобщает.
Когда применяется: даны две стороны и угол между ними (найти третью сторону) или даны три стороны (найти угол).

Вид угла: cos A < 0 (то есть a² > b² + c²) — A тупой; cos A > 0 — острый. Для тупого угла cos отрицателен, поэтому −2bc cos A положительно и сторона увеличивается.
Запомните: cos 60° = ½, cos 120° = −½, cos 45° = √2/2, cos 135° = −√2/2, cos 150° = −√3/2.

Пример

b = 5, c = 8, A = 60°. Найдите a.

1. a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · ½.
2. a² = 89 − 40 = 49.
3. a = 7.

Пример

В треугольнике со сторонами 5, 7, 8 найдите угол против стороны 7.

1. cos B = (5² + 8² − 7²)/(2 · 5 · 8).
2. = (25 + 64 − 49)/80 = 40/80 = ½.
3. B = 60°.

§3. Теорема синусов

Почему это верно? Запишем площадь двумя способами: S = ½ bc sin A = ½ ac sin B. Отсюда b sin A = a sin B, то есть a/sin A = b/sin B. Чтобы увидеть 2R, проведём из вершины B диаметр BD: треугольник BCD прямоугольный (угол опирается на диаметр), ∠D = ∠A (опираются на одну дугу), поэтому a = BD · sin D = 2R sin A.
Когда применяется: даны два угла и сторона; по стороне и противолежащему углу нужно найти R.
Неоднозначный случай (`SSA`). Если известен sin B, углов B может быть два: B и 180° − B, так как их синусы равны. Если второе значение удовлетворяет условию A + B < 180°, существуют два разных треугольника. Если получилось sin B > 1, треугольника нет.

Пример

A = 45°, B = 60°, a = 2√2. Найдите b.

1. b = a · sin B / sin A.
2. b = 2√2 · (√3/2) : (√2/2).
3. b = 2√3.

Пример

a = 5, b = 8, A = 30°. Найдите угол B.

1. sin B = b · sin A / a = 8 · ½ / 5 = 0,8.
2. B ≈ 53,13° или B ≈ 180° − 53,13° = 126,87°.
3. В обоих случаях A + B < 180°, значит условию удовлетворяют два треугольника.

§4. Формулы площади треугольника

S = ½ ab sin C следует из высоты: высота к стороне b равна h = a sin C. А S = abc/(4R) получается подстановкой sin C = c/(2R) в эту формулу. Выбирайте формулу по данным: три стороны — Герон, две стороны и угол — формула с синусом.

Пример

Найдите площадь, R и r треугольника со сторонами 13, 14, 15.

1. p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
2. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
3. R = abc/(4S) = 2730/336 = 8,125; r = S/p = 84/21 = 4.

§5. Медиана, параллелограмм и другие следствия

• Диагонали параллелограмма: d₁² + d₂² = 2(a² + b²) — косинусы соседних углов противоположны по знаку, поэтому применяем теорему косинусов дважды и складываем.
• Медиана: mₐ² = (2b² + 2c² − a²)/4 — если достроить треугольник до параллелограмма, медиана будет половиной его диагонали.
• Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пример

В треугольнике со сторонами 13, 14, 15 найдите медиану к стороне 14.

1. m² = (2 · 13² + 2 · 15² − 14²)/4.
2. = (338 + 450 − 196)/4 = 592/4 = 148.
3. m = √148 = 2√37.

§6. Практические задачи

Теорема косинусов используется, когда расстояние между двумя объектами нельзя измерить напрямую. Например, если два корабля вышли из порта под углом 60° и первый прошёл 30 км, а второй 40 км, расстояние между ними: √(900 + 1600 − 2 · 30 · 40 · ½) = √1300 = 10√13 ≈ 36,06 км.
Теорема синусов помогает найти расстояние до точки на другом берегу реки: на одном берегу измеряют базовый отрезок и углы, под которыми из его концов видна точка, затем решают треугольник в случае ASA.

Проверьте себя

1. b = 3, c = 5, A = 120°. Найдите a.

2. Какого вида треугольник со сторонами 4, 5, 7?

3. a = 6, A = 30°. Найдите R.

4. Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 5, 6.

5. a = 4, b = 10, C = 150°. Найдите площадь.

6. Стороны параллелограмма 3 и 5, одна диагональ 6. Найдите другую.

7. A = 30°, B = 45°, a = 4. Найдите b.

8. Найдите радиус вписанной окружности треугольника 13, 14, 15.

Типичные ошибки

• Забывать знак −2bc cos A в теореме косинусов или брать cos тупого угла положительным.
• Писать в теореме синусов R вместо 2R.
• Соединять в пару сторону и угол, который не лежит против неё.
• Брать в формуле Герона полный периметр вместо полупериметра.
• В случае SSA не проверять второе решение 180° − B.
• Определять вид треугольника по трём сторонам, проверяя не наибольший угол.