Четырёхугольники

Семейство четырёхугольников устроено как иерархия: квадрат — это и ромб, и прямоугольник; а они, в свою очередь, параллелограммы. Каждая «нижняя» фигура обладает всеми свойствами вышестоящих и добавляет свои. Если понять эту структуру, свойства не нужно зубрить — их можно восстановить из происхождения. Трапеция — отдельная ветвь: у неё параллельна только одна пара сторон. В этом уроке рассмотрены определение, свойства и признаки каждого вида, а также результаты, связанные с окружностью.

§1. Произвольный четырёхугольник

Четырёхугольник — многоугольник с четырьмя вершинами и четырьмя сторонами. У выпуклого четырёхугольника две диагонали, и они пересекаются внутри него.

Почему? Одна диагональ делит четырёхугольник на два треугольника, сумма углов каждого — 180°.
Теорема Вариньона: если последовательно соединить середины сторон любого четырёхугольника, получится параллелограмм; его стороны параллельны диагоналям и равны их половинам (по свойству средней линии треугольника).
Классификация четырёхугольников:

• Параллелограмм — противоположные стороны попарно параллельны.
• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.
• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
• Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб.
• Трапеция — параллельна только одна пара сторон.

§2. Параллелограмм

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Эти свойства следуют из того, что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). А соседние углы — внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей.
Признаки: четырёхугольник — параллелограмм, если:

• две противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные стороны попарно равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса угла отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Для диагоналей: d₁² + d₂² = 2(a² + b²).

Пример

В параллелограмме ABCD AB = 6, BC = 10. Биссектриса угла A пересекает BC в точке K. Найдите KC.

1. ∠BAK = ∠KAD (биссектриса), ∠KAD = ∠BKA (накрест лежащие, AD ∥ BC).
2. Значит ∠BAK = ∠BKA, △ABK равнобедренный: BK = AB = 6.
3. KC = 10 − 6 = 4.

§3. Прямоугольник, ромб, квадрат

• Прямоугольник: все углы 90°; диагонали равны: d = √(a² + b²). Признак: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.
• Ромб: все стороны равны; диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)². Признак: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями или с диагональю-биссектрисой — ромб.
• Квадрат: всё вместе; d = a√2, диагонали равны, перпендикулярны и образуют со сторонами углы 45°.

В прямоугольнике точка пересечения диагоналей — центр описанной окружности; в ромбе — центр вписанной окружности.

Пример

Угол ромба 60°, сторона 4. Найдите диагонали.

1. Меньшая диагональ лежит против угла 60° и вместе с двумя сторонами образует равносторонний треугольник: d₁ = 4.
2. Половина большей диагонали — высота этого треугольника: 4 · √3/2 = 2√3.
3. d₂ = 2 · 2√3 = 4√3.

§4. Трапеция

Параллельна только одна пара сторон (основания); две другие — боковые стороны.

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, 180°.
• Равнобедренная трапеция: углы при основании равны, диагонали равны; высота, опущенная из конца меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок (a − b)/2.
• Прямоугольная трапеция: одна боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте.
• Треугольники, прилежащие к основаниям и образованные диагоналями, подобны (k = a/b), поэтому диагонали делятся в отношении a : b.

Пример

Основания равнобедренной трапеции 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите высоту.

1. Проекция боковой стороны на большее основание: (10 − 4)/2 = 3.
2. Боковая сторона, высота и проекция образуют прямоугольный треугольник.
3. h = √(25 − 9) = 4.

Пример

Основания трапеции 6 и 4, диагональ 15. На какие части делит эту диагональ точка O пересечения диагоналей?

1. Треугольники при основаниях подобны, k = 6 : 4 = 3 : 2.
2. Диагональ делится в отношении 3 : 2: 15 : 5 = 3.
3. Части: 9 (со стороны большего основания) и 6.

§5. Вписанные и описанные четырёхугольники

Первое свойство следует из того, что вписанный угол равен половине дуги: противоположные углы вместе опираются на всю окружность (360°), значит их сумма 180°. Второе — из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки.
Следствия: вписанный параллелограмм — прямоугольник; вписанная трапеция — равнобедренная. В ромб всегда можно вписать окружность.
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то a + b = 2c, то есть боковая сторона равна средней линии: c = m; кроме того, h² = ab и h = 2r.

Пример

В описанном четырёхугольнике ABCD AB = 7, BC = 9, CD = 8. Найдите AD и периметр.

1. Условие описанного четырёхугольника: AB + CD = BC + AD.
2. 7 + 8 = 9 + AD → AD = 6.
3. Периметр: 2(AB + CD) = 2 · 15 = 30.

Эти свойства проверяют в первую очередь, когда в задаче упоминается окружность: во вписанном четырёхугольнике работают с углами, в описанном — со сторонами.

Проверьте себя

1. Периметр параллелограмма 30, стороны относятся как 2 : 3. Найдите стороны.

2. Средняя линия трапеции 12, одно основание 8. Найдите другое.

3. Диагонали ромба 6 и 8. Найдите периметр.

4. Основания равнобедренной трапеции 5 и 11, острый угол 45°. Найдите высоту.

5. Во вписанном четырёхугольнике ∠A : ∠C = 2 : 7. Найдите ∠A.

6. В равнобедренную трапецию с основаниями 3 и 7 вписана окружность. Найдите высоту.

7. Один угол параллелограмма на 40° больше другого. Найдите углы.

8. Диагональ прямоугольника 10, одна сторона 6. Найдите площадь.

Типичные ошибки

• Считать диагонали ромба равными (они не равны, а перпендикулярны).
• Дополнять противоположные углы параллелограмма до 180° (они равны; 180° — сумма соседних).
• Считать среднюю линию трапеции половиной разности оснований.
• Путать условия вписанного и описанного четырёхугольников.
• Брать в равнобедренной трапеции проекцию a − b вместо (a − b)/2.
• Подставлять в теорему Пифагора для ромба целые диагонали вместо половин.