Сначала изучите: Четырёхугольники
Многоугольник — замкнутая фигура на плоскости, составленная из последовательно соединённых отрезков (сторон). Треугольник, четырёхугольник, пятиугольник — всё это частные случаи многоугольника. Задачи о многоугольниках опираются на две главные идеи: сумму углов (через разбиение на треугольники) и разбиение правильного многоугольника на равные треугольники с вершиной в центре. Вторая идея позволяет легко решать задачи с вписанными и описанными окружностями. На экзамене вопросы об углах, числе диагоналей, радиусах и площади по этой теме встречаются почти каждый год.
Многоугольник с n вершинами называют n-угольником; у него n сторон и n внутренних углов. Отрезок, соединяющий две несоседние вершины, называется диагональю.
Выпуклый многоугольник — многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. У выпуклого многоугольника каждый внутренний угол меньше 180°, а все диагонали лежат внутри него. В школьном курсе и на экзамене, если не сказано иное, многоугольник считается выпуклым.
Периметр P — сумма длин всех сторон.
Проведём в выпуклом n-угольнике все диагонали из одной вершины. Из неё выходит n − 3 диагонали (к самой себе и к двум соседним вершинам диагональ не провести), и они делят многоугольник на n − 2 треугольника. Сумма углов каждого треугольника 180°, а вместе углы треугольников составляют в точности углы многоугольника. Поэтому:
Сумма внутренних углов S = 180°(n − 2)
Проверим: треугольник 180°, четырёхугольник 360°, пятиугольник 540°, шестиугольник 720°. Каждая новая вершина увеличивает сумму на 180°.
В обратной задаче по сумме находят n: n = S/180° + 2. Если S не делится на 180°, такого многоугольника не существует.
Сумма внутренних углов многоугольника равна 1440°. Сколько у него сторон?
Внешний угол — угол, смежный с внутренним, то есть угол между стороной и продолжением соседней стороны. В каждой вершине сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°. По всем вершинам: 180°n − 180°(n − 2) = 360°.
Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) 360° — не зависит от n
Это легко понять на примере человека, обходящего многоугольник: в каждой вершине он поворачивает на внешний угол и в итоге делает ровно один полный оборот, то есть 360°.
Число диагоналей. Из каждой вершины выходит n − 3 диагонали, всего n(n − 3). Но каждая диагональ посчитана дважды (из двух концов), поэтому делим на два:
Число диагоналей d = n(n − 3)/2
Например, у десятиугольника 10 · 7/2 = 35 диагоналей. Если диагоналей 20, то n(n − 3) = 40 → n = 8.
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны и все стороны, и все углы. Правильный треугольник — равносторонний, правильный четырёхугольник — квадрат. Обратите внимание: у ромба стороны равны, но углы нет, поэтому он не правильный; у прямоугольника равны углы, но не стороны.
Так как углы равны, делим сумму на n:
Внутренний угол α = 180°(n − 2)/n, внешний угол β = 360°/n
Быстрее всего находить n через внешний угол: внутренний 140° → внешний 180° − 140° = 40° → n = 360/40 = 9.
Внешний угол правильного многоугольника должен быть делителем 360°. Поэтому, например, правильного многоугольника с внутренним углом 130° нет: внешний угол 50°, а 360/50 не целое.
Найдите внутренний угол правильного 12-угольника.
Около каждого правильного многоугольника можно описать окружность (через вершины) и вписать в него окружность (касается сторон), их центры совпадают. Соединив центр с вершинами, получим n равных равнобедренных треугольников; угол каждого при центре 360°/n, боковые стороны R, основание — сторона a. Высота такого треугольника — радиус вписанной окружности r (апофема). Высота делит треугольник на два прямоугольных с углом 180°/n при центре. Отсюда:
a = 2R sin(180°/n), r = R cos(180°/n), a = 2r tg(180°/n)
Частные случаи: треугольник a = R√3, r = R/2; квадрат a = R√2, r = a/2; шестиугольник `a = R`, r = a√3/2
В шестиугольнике a = R, потому что центральный угол 60°, то есть все шесть треугольников равносторонние.
По теореме Пифагора R² = r² + (a/2)². Отсюда площадь кольца между описанной и вписанной окружностями зависит только от стороны:
π(R² − r²) = π(a/2)²
В окружность радиуса 6 вписан правильный треугольник. Найдите его сторону, радиус вписанной окружности и площадь.
Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник, r = 2 + √2. Найдите площадь кольца между вписанной и описанной окружностями.
Многоугольник состоит из n равных треугольников, площадь каждого ½ a r. Значит:
S = ½ P · r (полупериметр, умноженный на радиус вписанной окружности)
S = ½ n R² sin(360°/n)
Правильный шестиугольник: S = 6 · (a²√3/4) = 3√3a²/2
Например, площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса 5: ½ · 4 · 25 · sin 90° = 50 (или a = 5√2, a² = 50).
Сторона правильного шестиугольника равна 4. Найдите R, r и площадь.