Окружность и круг

Окружность — самая частая фигура геометрии: она появляется в задачах о треугольниках, многоугольниках, координатах и даже в тригонометрии. Большинство задач об окружности держится на трёх фактах: касательная перпендикулярна радиусу, вписанный угол равен половине дуги, произведения отрезков пересекающихся хорд равны. Умение увидеть их на чертеже превращает сложный рисунок в простые прямоугольные треугольники. Ниже для каждого правила объясняем, почему оно верно.

§1. Основные элементы и формулы

Окружность — множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние R. Круг — окружность вместе с внутренними точками. Различайте их: у окружности есть длина, у круга — площадь.
Основные элементы:

• радиус R — отрезок от центра до точки окружности;
• диаметр d = 2R — хорда, проходящая через центр;
• хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; наибольшая хорда — диаметр;
• дуга — часть окружности между двумя точками; измеряется в градусах (вся окружность 360°);
• касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку;
• секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Формулы дуги и сектора логичны: дуга в α градусов составляет α/360 всей окружности, поэтому и длина, и площадь берутся в этой доле.
Два важных факта о хордах:

• Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Причина: центр и концы хорды образуют равнобедренный треугольник (две стороны по R), а его высота является медианой. Отсюда R² = h² + (хорда/2)², где h — расстояние от центра до хорды.
• Равные хорды равноудалены от центра и стягивают равные дуги.

Пример

В окружности радиуса 5 проведена хорда на расстоянии 3 от центра. Найдите длину хорды.

1. Опускаем перпендикуляр из центра на хорду — он делит её пополам.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза R = 5, катет h = 3.
3. Половина хорды: √(25 − 9) = 4.
4. Длина хорды: 2 · 4 = 8.

§2. Касательные

Почему верен первый факт? Кратчайшее расстояние от центра до прямой — перпендикуляр. Все остальные точки касательной лежат вне окружности, то есть дальше R от центра; значит, ближайшая точка — точка касания, и радиус в неё и есть перпендикуляр.
Второй факт следует из равенства прямоугольных треугольников: если из точки P проведены касательные к точкам A и B, то в треугольниках OPA и OPB общая гипотенуза OP и катеты OA = OB = R. Поэтому PA = PB, а OP — биссектриса угла APB.
Эти факты постоянно используются в задачах о вписанной окружности: отрезки касательных из каждой вершины равны, и стороны раскладываются на суммы таких отрезков.
Взаимное расположение прямой и окружности зависит от расстояния h от центра до прямой: h < R — пересекает в двух точках, h = R — касается, h > R — общих точек нет.

Пример

Точка P находится на расстоянии 13 от центра, R = 5. Найдите длину отрезка касательной из P.

1. Точка касания T, OT ⊥ PT, значит OTP — прямоугольный треугольник.
2. Гипотенуза OP = 13, катет OT = 5.
3. PT = √(169 − 25) = √144 = 12.

§3. Центральные и вписанные углы

Центральный угол — угол с вершиной в центре. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хорды.

Почему половине? Если одна сторона вписанного угла — диаметр, то центр и две точки образуют равнобедренный треугольник; его внешний угол (центральный) равен сумме двух равных углов при основании, то есть удвоенному вписанному. Общий случай сводится к этому.
Следствия:

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (полуокружность 180°, половина — 90°).
• Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
• Угол между хордой и касательной равен половине дуги между ними.

Пример (официальный образец)

Окружность разделена на три дуги в отношении 13 : 14 : 9, точки деления образуют треугольник, меньшая сторона которого ⁴√12. Найдите площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности.

1. Дуги: всего 13 + 14 + 9 = 36 частей, одна часть 10° → 130°, 140°, 90°.
2. Углы треугольника — половины дуг: 65°, 70°, 45°.
3. Меньшая сторона лежит против меньшего угла 45°: по теореме синусов 2R sin 45° = R√2 = ⁴√12.
4. Возводим в квадрат: 2R² = √12 → R² = √12/2 = √3.
5. Окружность вписана в правильный треугольник, его r = R; площадь правильного треугольника S = 3√3 r².
6. S = 3√3 · √3 = 9.

§4. Соотношения отрезков

Эти формулы следуют из подобия треугольников. Например, для пересекающихся хорд треугольники AEC и DEB подобны: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, вертикальные углы тоже равны. Из подобия AE/DE = CE/EB, то есть AE · EB = CE · ED.

Пример

Хорды AB и CD пересекаются в точке E: AE = 4, EB = 6, CE = 3. Найдите CD.

1. AE · EB = CE · ED → 4 · 6 = 3 · ED.
2. ED = 24/3 = 8.
3. CD = CE + ED = 3 + 8 = 11.

§5. Треугольник и окружности

Около любого треугольника можно описать ровно одну окружность и вписать в него ровно одну.

• Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам (равноудалена от вершин).
• Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис (равноудалена от сторон).
• В прямоугольном треугольнике R = c/2 (гипотенуза — диаметр) и r = (a + b − c)/2.
• В правильном треугольнике R = 2r, сторона a = R√3.

Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, равен полупериметру.

Пример (официальный образец)

Окружность касается осей Ox и Oy и отрезка, соединяющего точки (6; 0) и (0; 8) (с противоположной от начала координат стороны отрезка). Найдите её радиус.

1. Длина отрезка: √(36 + 64) = 10; вместе с осями получается треугольник с катетами 6 и 8.
2. Окружность касается гипотенузы и продолжений катетов — она вневписанная; центр (R; R), точки касания с осями (R; 0) и (0; R).
3. Касательные из одной точки равны: (R − 6) + (R − 8) = 10.
4. 2R = 24 → R = 12 (полупериметр (6 + 8 + 10)/2 = 12).

Пример

Для треугольника со сторонами 13, 14, 15 найдите R и r.

1. p = 21; по формуле Герона S = √(21 · 8 · 7 · 6) = 84.
2. r = S/p = 84/21 = 4.
3. R = abc/(4S) = 2730/336 = 8,125.

Проверьте себя

1. Вписанный угол равен 35°. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?

2. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью длины 10π.

3. Касательная равна 6, внешняя часть секущей 4. Найдите всю секущую.

4. Радиус окружности, описанной около треугольника с катетами 5 и 12.

5. Угол между касательными из точки равен 60°, R = 3. Расстояние от точки до центра?

6. Площадь сектора радиуса 6 с центральным углом 60°.

7. Длина дуги 120° окружности радиуса 6.

8. Один угол вписанного четырёхугольника равен 110°. Противоположный угол?

Типичные ошибки

• Считать вписанный угол равным дуге — на самом деле он равен её половине.
• В формуле касательной и секущей брать внутреннюю часть вместо всей секущей.
• Не замечать на чертеже прямой угол между касательной и радиусом.
• Путать формулы длины дуги (πRα/180) и площади сектора (πR²α/360).
• Смешивать длину окружности и площадь круга: 2πR — длина, πR² — площадь.
• В прямоугольном треугольнике принимать R равным самой гипотенузе (R = c/2).